Сформировать таблицу решений и построить модель выбора наиболее предпочтительной альтернативы, используя следующие решающие правила:

а) критерий Вальда;

б) критерий Гурвица (для двух значений γ > 0,5 и γ < 0,5);

в) принцип недостаточного обоснования;

г) комбинацию критерия Гурвица и принципа недостаточного обоснования;

д) критерий Сэвиджа.

Для уборки овощей необходимо привлечь сезонных рабочих. Урожайность колеблется в пределах от 200 до 250 центнеров, закупочная цена стабильна и равна 5 денежных единиц (д.е.) за 1 кг. Рабочий за сезон собирает 10 центнеров и получает 2 д.е./кг за уборку и 600 д.е. в качестве компенсации расходов на проезд к месту работы. Затраты на обеспечение рабочих жильем составляют 5000 д.е. и не зависят от численности. Определить оптимальное число привлекаемых рабочих с точки зрения максимизации прибыли.

Решение

В рассматриваемой задаче принятия решений роль альтернатив играет число нанятых рабочих, а роль состояний внешней среды – урожайность.

За каждый убранный кг рабочий получает 2 д.е., а предприятие продает его за 5 д.е. Разница – 3 д.е./кг.

В целом имеет смысл привлекать от 20 (они будут гарантированно задействованы даже при минимальной урожайности) до 25 (большее число рабочих точно не будет обеспечено работой) рабочих.

Для удобства вычислений рассмотрим изменение урожайности с шагом 10 ц (при необходимости можно выбрать меньший шаг – например, 1ц, 0.5ц и т.д.).

Итак, множество альтернатив Х={20,21,22,23,24,25}, множество исходов Z={200,210,220,230,240,250}

Исходы оцениваются по критерию прибыли. На основе данных условия задачи, имеется следующая зависимость:

Или, приведя подобные слагаемые, получаем:

С учетом данной зависимости получаем таблицу решений (величины прибыли указаны в д.е.).

xi zj
200 210 220 230 240 250
20 43000 43000 43000 43000 43000 43000
21 42400 45400 45400 45400 45400 45400
22 41800 44800 47800 47800 47800 47800
23 41200 44200 47200 50200 50200 50200
24 40600 43600 46600 49600 52600 52600
25 40000 43000 46000 49000 52000 55000

а) Для каждой альтернативы хi вычислим значения критерия Вальда по формуле:

Вычисленные значения приведены в табл.

xi zj WD(xi) WH(xi)

(=0,4)

WH(xi)

(=0,6)

WL(xi)
200 210 220 230 240 250
20 43000 43000 43000 43000 43000 43000 43000 43000 43000 43000
21 42400 45400 45400 45400 45400 45400 42400 44200 43600 44900
22 41800 44800 47800 47800 47800 47800 41800 45400 44200 46300
23 41200 44200 47200 50200 50200 50200 41200 46600 44800 47200
24 40600 43600 46600 49600 52600 52600 40600 47800 45400 47600
25 40000 43000 46000 49000 52000 55000 40000 49000 46000 47500

Наиболее предпочтительной по данному критерию является альтернатива x1 (20 рабочих), обеспечивающая лучшую оценку при неблагоприятном исходе.

б) Для вычисления значений критерия Гурвица используется формула:

Для применения этой формулы необходимо предварительно выбрать значение показателя γ (коэффициента оптимизма-пессимизма). В соответствии с таблицей решений, имеем:

(т.е. при реализации первой альтернативы возможно получение прибыли в сумме 40 тыс. д.е. либо 55 тыс. д.е., а реализация второй альтернативы приводит к получению определенной прибыли yγ наверняка). Пусть ЛПР считает, что альтернативы равноценны при yγ = 49 тыс. д.е. Отсюда:

Полученное значение γ = 0,4 соответствует преобладанию у ЛПР оптимистического взгляда на поведение внешней среды, когда при оценке альтернатив больший приоритет отдается благоприятному исходу. Вычисленные значения критерия Гурвица для γ = 0,4 приведены в табл. Наилучшей по данному критерию является альтернатива x6 (25 рабочих).

Теперь рассмотрим ситуацию, когда коэффициент соответствует преобладанию пессимистического взгляда на поведение внешней среды – пусть, например, ЛПР установило yγ=46 тыс. д.е., что соответствует γ = 0,6. Вычисленные значения критерия Гурвица для γ = 0,6 приведены в табл. Наилучшей по данному критерию является альтернатива x6 (25 рабочих).

в) Критерий Бернулли-Лапласа, используемый в рамках принципа недостаточного обоснования имеет вид:

Наиболее предпочтительная альтернатива – х5 (24 рабочих).

г) Для применения комбинации критерия Гурвица и принципа недостаточного обоснования необходимо разделить множество исходов на два подмножества, содержащие исходы, благоприятные и неблагоприятные с точки зрения ЛПР. Как правило, такое разделение выполняется на основе значения yγ, которое ЛПР выбирает при определении коэффициента γ. Таким образом, с учетом б), получаем: для γ = 0,4:

где rk(xi), qj(xi) – исходы альтернативы xi, принадлежащие соответственно множествам R и Q;

p(xi), s(xi) – число таких исходов. При этом, если для альтернативы xi одно из значений p(xi), s(xi) нулевое (все ее исходы относятся только к одному из подмножеств), то для оценки данной альтернативы используется критерий Бернулли-Лапласа (оценивается «средний» исход).

xi zj WС(xi)

(=0,4)

200 210 220 230 240 250
20 43000 43000 43000 43000 43000 43000 43000
21 42400 45400 45400 45400 45400 45400 44900
22 41800 44800 47800 47800 47800 47800 46300
23 41200 44200 47200 50200 50200 50200 47800
24 40600 43600 46600 49600 52600 52600 48400
25 40000 43000 46000 49000 52000 55000 48400

Предпочтительными в равной степени являются альтернативы х5 и х6 (24 и 25 рабочих).

xi zj WС(xi)

(=0,6)

200 210 220 230 240 250
20 43000 43000 43000 43000 43000 43000 43000
21 42400 45400 45400 45400 45400 45400 44900
22 41800 44800 47800 47800 47800 47800 45100
23 41200 44200 47200 50200 50200 50200 45400
24 40600 43600 46600 49600 52600 52600 45400
25 40000 43000 46000 49000 52000 55000 45100

Предпочтительными в равной степени являются альтернативы х4 и х5 (23 и 24 рабочих).

д) Значения критерия Сэвиджа вычисляются по формуле:

где

Наилучшей является альтернатива x5 (24 рабочих), обеспечивающая наименьший «недовыигрыш» в самой неблагоприятной ситуации.

 

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Был ли этот материал полезен для Вас?

Комментирование закрыто.