ВАРИАНТ 5.

(для студентов, «списочные номера» которых оканчиваются цифрой 5)

1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное пятизначное число составлено только из нечетных цифр?

Решение.

нечётные цифры 1, 3, 5, 7, 9 — пять штук

количество пятизначных чисел из пяти нечётных цифр равно

55=3125

количество пятизначных чисел равно

99999 -10 000+1=90000

Тогда вероятность

Ответ:

2. В урне 4 белых и 8 черных шаров. Вынуто четыре шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из них будет белым?

Решение.

Рассмотрим события

А – все 4 шара черные

– хотя бы один белый

Ответ:

3. Имеются две урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из второй урны извлекают один шар. Извлеченный шар оказался белым. Какова вероятность того, что были переложены 2 черных шара?

Решение.

Событие А – достали белый шар

гипотезы

H0 – переложили 2 белых шара

Н1 – переложили 1 белый шар и 1 черный шар

Н2 – переложили 2 черных шара

— условная вероятность, во втором ящике будет 7 шаров из них (2+i), белых

тогда

Вероятность что были переложены 2 черных шара равна

4. Из полной колоды карт (36 карт) извлекается 6 раз по одной карте с возвращением в колоду. Какова вероятность, того, что 4 раза появится дама?

Решение.

Вероятность вытащить одну карту даму равна 4/36.

Применим формулу Бернули

При возвращении карты обратно вероятность вытащить снова даму тоже равна 4/36.

Тогда вероятность вытащить 4 раза даму равна 4/36*4/36*4/36*4/36=1/3561

5. Вероятность случайного события равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие произойдет в большинстве случаев при 60 испытаниях?

Решение.

Количество m появлений события в серии испытаний находится в промежутке [0; 60]. «В большинстве опытов» означает, что m принадлежит промежутку [30, 60.] По условию n =60; p =0,6; q=0,4; m1=30; m2= 60. Вычислим x1 и x2:

Тогда

6. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,01. Проверяется книга, содержащая 600 страниц. Найти вероятность того, что с опечатками окажется: а) 6 страниц; б) не более шести страниц.

Решение.

Вероятность можно найти по формуле:

Найдем вероятность того, что событие наступит не более 6 раз.

P(X ≤ 6) = 0.00248 + 0.01487 + 0.04462 + 0.08924 + 0.1339 + 0.1606 + 0.1606 = 0.6063

7. Имеются 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Наудачу выбирают три билета. Составить закон распределения случайной величины X — числа билетов первого ряда, оказавшихся в выборке. Найти интегральную функцию распределения и построить ее график. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, вероятности событий .

Решение.

Случайная величина Х принимает значения 0,1,2,3

Определим вероятности

Х=0

Закон распределения

хi 0 1 2 3
рi

Функция распределения

8. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности

Найти: интегральную функцию распределения; математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; вероятности событий .

Решение.

Интегральная функция распределения

Если х<0

9. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией . Найти такое , чтобы вероятность выполнения неравенства равнялась 0,8.

Решение.

Вероятность выполнения неравенства

10. Имеются результаты измерений некоторой величины:

31, 37, 37, 32, 33, 32, 35, 35, 34, 36, 33, 34, 33, 35, 36, 36, 35, 35, 34, 34.

Построить таблицу частот и полигон частот этой величины. Найти: а) выборочное среднее и выборочную дисперсию ; б) несмещенную оценку дисперсии . Придумать правдоподобную генеральную совокупность или соответствующую случайную величину.

Решение.

хi 31 32 33 34 35 36 37
ni 1 2 3 4 5 3 2
wi 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,15 0,1

Полигон частот

11. Даны среднее квадратичное отклонение , выборочное среднее и объем выборки нормально распределенного признака генеральной совокупности. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания генеральной совокупности с заданной надежностью .

Решение.

Найдем tγ. Пользуясь таблицей приложения 3, по γ = 0,95 и n = 10 находим tγ =2,23.

Найдем доверительные границы:

Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале

3,99 < а < 6,8.

12. При уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:

5 10 14 20 8 7 6
6 14 16 18 7 5 4

Решение.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину («хи квадрат» (критерий согласия Пирсона):

Выполняем расчетную таблицу, находим :

Эмпирические частоты Теоретические частоты
1 5 6 1
2 10 14 0,09
3 14 16 0,07
4 20 18 0,21
5 8 7 0,27
6 7 5 0,67
7 6 4 0,17
    2,47

По таблице критических точек распределения χ2кр , по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = s-1-r = s-1-2 = s-3 = 7-3 = 4, где r=2 – число параметров предполагаемого распределения, s=7 – число групп выборки, находим критическую точку χ2кр(α;k):

χ2кр(α;k) = χ2кр (0,05; 4) = 9,49

Если χ2набл < χ2кр – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В нашем случае χ2набл = 2,47, χ2кр (0,05; 4) = 9,49, следовательно χ2набл < χ2кр, — нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Был ли этот материал полезен для Вас?

Комментирование закрыто.