Эконометрика

Содержимое

ЗАДАЧА 1

Проведите механическое выравнивание динамического ряда для результативной переменной методом укрупнения интервалов и методом простой скользящей средней основываясь на  следующих данных стоимости основных производственных фондов с региона за период 2001—2012 гг.:

Таблица 1

Год	Стоимость основных производственных фондов, млн руб.
2001	40 182
2002	37 977
2003	34 512
2004	25 128
2005	24 581
2006	21 767
2007	20 763
2008	19 291
2009	18 134
2010	18 377
2011	18 525
2012	20 142

Решение

Метод укрупнения интервалов – один из основных наиболее простых методов. Основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики.

Суть метода скользящей (подвижной) средней заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3,5,7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее начиная с третьего и т.д.

Таблица 2

Механическое выравнивание

Год	Стоимость основных производственных фондов, млн руб.	Укрупнение интервалов, млн. руб.	Скользящая средняя, млн. руб.
2001	40182	37557	–
2002	37977		37557
2003	34512		32539
2004	25128	23825,3	28074
2005	24581		23825
2006	21767		22370
2007	20763	19396	20607
2008	19291		19396
2009	18134		18601
2010	18377	19014,7	18345
2011	18525		19015
2012	20142		–

Рис. 1. Выравнивание динамического ряда

На основании таблицы 2 можно сказать, что стоимость основных производственных фондов за анализируемый период имеет тенденцию к снижению

ЗАДАЧА 2

Найдите многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках x₀ = 1, x₁ = 4, x₂ = 7 значения функции y₀ = –4,6, y₁ = –6,4, y₂ = 24,2.

Решение

Составляем полином Лагранжа

ЗАДАЧА 3

По данным таблицы 3 проведите иерархический агломеративный кластерный анализ.

Таблица 3

Исходные статистические данные об уровне рентабельности сельхозпредприятий за  2012 год в разрезе районов Ставропольского края

Район	Средний надой молока на 1 корову в сельхозпредприятиях, кг	Средний сбор яиц от 1 курицы-несушки, шт.	Средний настриг шерсти с 1 овцы, кг (в физической массе)	Уровень рентабельности (убыточности) деятельности сельхозпредприятий, %
Александровский	2773	0	2,3	-5,4
Андроповский	1990	0	2,5	-11,3
Апанасенковский	2268	0	4,3	6,7
Арзгирский	2041	0	5,1	13,1
Благодарненский	3801	104	3,8	16,7
Буденновский	2867	33	3,1	14,8
Георгиевский	3957	309	0	10,9
Грачевский	1753	307	1,5	-10,4
Изобильненский	3981	0	3,5	15
Ипатовский	3646	67	4,9	15,3
Кировский	3862	288	4,8	15,3
Кочубеевский	5208	148	3,1	12,4
Красногвардейский	4787	0	2,7	17,6

На первом шаге каждый объект выборки рассматривается как отдельный кластер. Процесс объединения кластеров происходит последовательно: на основании матрицы расстояний.

Воспользуемся агломеративным иерархическим алгоритмом классификации. В качестве расстояния между объектами примем обычное евклидовое расстояние. Тогда согласно формуле:

где l – признаки; k – количество признаков

так как показатели имеют единицы измерения, их необходимо нормировать.

Таблица 4

Безразмерные показатели

Район	Средний надой молока на 1 корову в сельхозпредприятиях, кг	Средний сбор яиц от 1 курицы-несушки, шт.	Средний настриг шерсти с 1 овцы, кг (в физической массе)	Уровень рентабельности (убыточности) деятельности сельхозпредприятий, %
Александровский	0,295	0,000	0,451	0,204
Андроповский	0,069	0,000	0,490	0,000
Апанасенковский	0,149	0,000	0,843	0,623
Арзгирский	0,083	0,000	1,000	0,844
Благодарненский	0,593	0,337	0,745	0,969
Буденновский	0,322	0,107	0,608	0,903
Георгиевский	0,638	1,000	0,000	0,768
Грачевский	0,000	0,994	0,294	0,031
Изобильненский	0,645	0,000	0,686	0,910
Ипатовский	0,548	0,217	0,961	0,920
Кировский	0,610	0,932	0,941	0,920
Кочубеевский	1,000	0,479	0,608	0,820
Красногвардейский	0,878	0,000	0,529	1,000

И т.д.

2. Полученные данные помещаем в таблицу (матрицу расстояний).

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	0	0,308	0,592	0,870	0,934	0,725	1,280	1,062	0,822	0,940	1,312	1,063	0,990
2	0,308	0	0,958	1,214	1,271	1,026	1,298	0,955	1,194	1,332	1,589	1,375	1,319
3	0,592	0,958	0	1,111	1,122	0,901	1,170	0,878	1,066	1,191	1,431	1,222	1,193
4	0,870	1,214	1,111	0	1,243	1,002	1,274	0,939	1,170	1,305	1,560	1,347	1,295
5	0,934	1,271	1,122	1,243	0	0,637	0,742	0,957	0,681	0,621	0,587	0,480	0,776
6	0,725	1,026	0,901	1,002	0,637	0	0,928	0,800	0,828	0,909	1,093	0,902	0,956
7	1,280	1,298	1,170	1,274	0,742	0,928	0	1,010	0,695	0,608	0,509	0,436	0,779
8	1,062	0,955	0,878	0,939	0,957	0,800	1,010	0	1,310	1,455	1,725	1,507	1,432
9	0,822	1,194	1,066	1,170	0,681	0,828	0,695	1,310	0	0,607	0,497	0,431	0,781
10	0,940	1,332	1,191	1,305	0,621	0,909	0,608	1,455	0,607	0	0,667	0,536	0,784
11	1,312	1,589	1,431	1,560	0,587	1,093	0,509	1,725	0,497	0,667	0	0,462	0,776
12	1,063	1,375	1,222	1,347	0,480	0,902	0,436	1,507	0,431	0,536	0,462	0	1,112
13	0,990	1,319	1,193	1,295	0,776	0,956	0,779	1,432	0,781	0,784	0,776	1,112	0

3. Поиск наименьшего расстояния.

Из матрицы расстояний следует, что объекты 1 и 2 наиболее близки P_1,2 = 0,308 и поэтому объединяются в один кластер.

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	0	0,308	0,592	0,870	0,934	0,725	1,280	1,062	0,822	0,940	1,312	1,063	0,990
2	0,308	0	0,958	1,214	1,271	1,026	1,298	0,955	1,194	1,332	1,589	1,375	1,319
3	0,592	0,958	0	1,111	1,122	0,901	1,170	0,878	1,066	1,191	1,431	1,222	1,193
4	0,870	1,214	1,111	0	1,243	1,002	1,274	0,939	1,170	1,305	1,560	1,347	1,295
5	0,934	1,271	1,122	1,243	0	0,637	0,742	0,957	0,681	0,621	0,587	0,480	0,776
6	0,725	1,026	0,901	1,002	0,637	0	0,928	0,800	0,828	0,909	1,093	0,902	0,956
7	1,280	1,298	1,170	1,274	0,742	0,928	0	1,010	0,695	0,608	0,509	0,436	0,779
8	1,062	0,955	0,878	0,939	0,957	0,800	1,010	0	1,310	1,455	1,725	1,507	1,432
9	0,822	1,194	1,066	1,170	0,681	0,828	0,695	1,310	0	0,607	0,497	0,431	0,781
10	0,940	1,332	1,191	1,305	0,621	0,909	0,608	1,455	0,607	0	0,667	0,536	0,784
11	1,312	1,589	1,431	1,560	0,587	1,093	0,509	1,725	0,497	0,667	0	0,462	0,776
12	1,063	1,375	1,222	1,347	0,480	0,902	0,436	1,507	0,431	0,536	0,462	0	1,112
13	0,990	1,319	1,193	1,295	0,776	0,956	0,779	1,432	0,781	0,784	0,776	1,112	0

При формировании новой матрицы расстояний, выбираем наименьшее значение из значений объектов №1 и №2

№ п/п	1,2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1,2	0	0,592	0,870	0,934	0,725	1,280	0,955	0,822	0,940	1,312	1,063	0,990
3	0,592	0	1,111	1,122	0,901	1,170	0,878	1,066	1,191	1,431	1,222	1,193
4	0,870	1,111	0	1,243	1,002	1,274	0,939	1,170	1,305	1,560	1,347	1,295
5	0,934	1,122	1,243	0	0,637	0,742	0,957	0,681	0,621	0,587	0,480	0,776
6	0,725	0,901	1,002	0,637	0	0,928	0,800	0,828	0,909	1,093	0,902	0,956
7	1,280	1,170	1,274	0,742	0,928	0	1,010	0,695	0,608	0,509	0,436	0,779
8	0,955	0,878	0,939	0,957	0,800	1,010	0	1,310	1,455	1,725	1,507	1,432
9	0,822	1,066	1,170	0,681	0,828	0,695	1,310	0	0,607	0,497	0,431	0,781
10	0,940	1,191	1,305	0,621	0,909	0,608	1,455	0,607	0	0,667	0,536	0,784
11	1,312	1,431	1,560	0,587	1,093	0,509	1,725	0,497	0,667	0	0,462	0,776
12	1,063	1,222	1,347	0,480	0,902	0,436	1,507	0,431	0,536	0,462	0	1,112
13	0,990	1,193	1,295	0,776	0,956	0,779	1,432	0,781	0,784	0,776	1,112	0

Объединяем 9 и 12

№ п/п	1,2	3	4	5	6	7	8	9,12	10	11	13
1,2	0	0,592	0,870	0,934	0,725	1,280	0,955	0,822	0,940	1,312	0,990
3	0,592	0	1,111	1,122	0,901	1,170	0,878	1,066	1,191	1,431	1,193
4	0,870	1,111	0	1,243	1,002	1,274	0,939	1,170	1,305	1,560	1,295
5	0,934	1,122	1,243	0	0,637	0,742	0,957	0,480	0,621	0,587	0,776
6	0,725	0,901	1,002	0,637	0	0,928	0,800	0,828	0,909	1,093	0,956
7	1,280	1,170	1,274	0,742	0,928	0	1,010	0,695	0,608	0,509	0,779
8	0,955	0,878	0,939	0,957	0,800	1,010	0	1,310	1,455	1,725	1,432
9,12	0,822	1,066	1,170	0,480	0,828	0,695	1,310	0	0,607	0,497	0,781
10	0,940	1,191	1,305	0,621	0,909	0,608	1,455	0,607	0	0,667	0,784
11	1,312	1,431	1,560	0,587	1,093	0,509	1,725	0,497	0,667	0	0,776
13	0,990	1,193	1,295	0,776	0,956	0,779	1,432	0,781	0,784	0,776	0

Объединяем (4,12) и 5

№ п/п	1,2	3	4	5,9,12	6	7	8	10	11	13
1,2	0	0,592	0,870	0,822	0,725	1,280	0,955	0,940	1,312	0,990
3	0,592	0	1,111	1,066	0,901	1,170	0,878	1,191	1,431	1,193
4	0,870	1,111	0	1,170	1,002	1,274	0,939	1,305	1,560	1,295
5,9,12	0,822	1,066	1,170	0	0,637	0,695	0,957	0,607	0,497	0,776
6	0,725	0,901	1,002	0,637	0	0,928	0,800	0,909	1,093	0,956
7	1,280	1,170	1,274	0,695	0,928	0	1,010	0,608	0,509	0,779
8	0,955	0,878	0,939	0,957	0,800	1,010	0	1,455	1,725	1,432
10	0,940	1,191	1,305	0,607	0,909	0,608	1,455	0	0,667	0,784
11	1,312	1,431	1,560	0,497	1,093	0,509	1,725	0,667	0	0,776
13	0,990	1,193	1,295	0,776	0,956	0,779	1,432	0,784	0,776	0

Объединяем (5,9,12) и 11

№ п/п	1,2	3	4	5,9,11,12	6	7	8	10	13
1,2	0	0,592	0,870	0,822	0,725	1,280	0,955	0,940	0,990
3	0,592	0	1,111	1,066	0,901	1,170	0,878	1,191	1,193
4	0,870	1,111	0	1,170	1,002	1,274	0,939	1,305	1,295
5,9,11,12	0,822	1,066	1,170	0	0,509	0,695	0,957	0,607	0,776
6	0,725	0,901	1,002	0,509	0	0,928	0,800	0,909	0,956
7	1,280	1,170	1,274	0,695	0,928	0	1,010	0,608	0,779
8	0,955	0,878	0,939	0,957	0,800	1,010	0	1,455	1,432
10	0,940	1,191	1,305	0,607	0,909	0,608	1,455	0	0,784
13	0,990	1,193	1,295	0,776	0,956	0,779	1,432	0,784	0

Объединяем (5,9,11,12) и 6

№ п/п	1,2	3	4	5,9,11,12	7	8	10	13
1,2	0	0,592	0,870	0,725	1,280	0,955	0,940	0,990
3	0,592	0	1,111	0,901	1,170	0,878	1,191	1,193
4	0,870	1,111	0	1,002	1,274	0,939	1,305	1,295
5,9,11,12	0,725	0,901	1,002	0	0,695	0,800	0,607	0,776
7	1,280	1,170	1,274	0,695	0	1,010	0,608	0,779
8	0,955	0,878	0,939	0,800	1,010	0	1,455	1,432
10	0,940	1,191	1,305	0,607	0,608	1,455	0	0,784
13	0,990	1,193	1,295	0,776	0,779	1,432	0,784	0

Объединяем (1,2) и 3

№ п/п	1,2,3	4	5,9,11,12	7	8	10	13
1,2,3	0	0,870	0,725	1,170	0,878	0,940	0,990
4	0,870	0	1,002	1,274	0,939	1,305	1,295
5,9,11,12	0,725	1,002	0	0,695	0,800	0,607	0,776
7	1,170	1,274	0,695	0	1,010	0,608	0,779
8	0,878	0,939	0,800	1,010	0	1,455	1,432
10	0,940	1,305	0,607	0,608	1,455	0	0,784
13	0,990	1,295	0,776	0,779	1,432	0,784	0

Объединяем (5,9,11,12) и 10

№ п/п	1,2,3	4	5,9,11,10,12	7	8	13
1,2,3	0	0,870	0,725	1,170	0,878	0,990
4	0,870	0	1,002	1,274	0,939	1,295
5,9,11,10,12	0,725	1,002	0	0,608	0,800	0,776
7	1,170	1,274	0,608	0	1,010	0,779
8	0,878	0,939	0,800	1,010	0	1,432
13	0,990	1,295	0,776	0,779	1,432	0

Объединяем (5,9,11,12) и 7

№ п/п	1,2,3	4	5,7,9,11,10,12	8	13
1,2,3	0	0,870	0,725	0,878	0,990
4	0,870	0	1,002	0,939	1,295
5,7,9,11,10,12	0,725	1,002	0	0,800	0,776
8	0,878	0,939	0,800	0	1,432
13	0,990	1,295	0,776	1,432	0

Объединяем (5,7,9,11,12) и (1,2,3)

№ п/п	1,2,3,5,7,9,10,11,12	4	8	13
1,2,3,5,7,9,10,11,12	0	0,870	0,800	0,990
4	0,870	0	0,939	1,295
8	0,800	0,939	0	1,432
13	0,990	1,295	1,432	0

Объединяем (1,2,3,5,7,9,10,11,12) и 8

№ п/п	1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12	4	13
1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12	0	0,870	0,990
4	0,870	0	1,295
13	0,990	1,295	0

Объединяем (1,2,3,5,7,8,9,10,11,12) и 4

№ п/п	1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12	13
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12	0	0,990
13	0,990	0

Таким образом, при проведении кластерного анализа по принципу “ближнего соседа” получили два кластера, расстояние между которыми равно P=0,950

ЗАДАЧА 4

Для парного уравнения регрессии, аппроксимированного на основе показательной функции для десяти наблюдений, известны следующие значения: ∑х = 132, ∑х² = 1183, ∑х × lgy = 1152, ∑lgy = 58,3, ∑(lgy)² = 151,43. Определите параметры уравнения регрессии.

Решение

Показательная регрессия

Линеаризация

МНК для линейной регрессии

После замены переменных

После алгебраических преобразований параметры уравнения регрессии

ЗАДАЧА 5

Рассчитайте коэффициент корреляции для парной прямолинейной зависимости при двенадцати узловых точках если известно, что ∑х = 15, ∑х² = 85, ∑ух = 95, ∑у = 58, ∑у² = 320, ∑ух² = 95, ∑у²х² = 95. Дайте характеристику силе связи.

Решение

Коэффициент корреляции

Связь между показателями сильная, прямая, так как показатель находится в диапазоне 0,7-1.

ЗАДАЧА 6

По данным о  внутригодовой динамике изменения производства яиц в хозяйствах региона (таблица 6), построить уравнение Фурье по первой и второй гармоникам; оценить их статистическую значимость и сделать вывод о наиболее приемлемой форме модели для оценки сезонных колебаний анализируемого показателя.

Таблица 6

Производство яиц в хозяйствах населения в 2012 г.

Месяц года	Производство Y, тыс. шт.	Месяц года	Производство Y, тыс. шт.
1	636,0	7	483,4
2	600,0	8	465,0
3	605,8	9	462,2
4	531,0	10	454,0
5	491,9	11	442,1
6	482,3	12	464,0

Решение

Для построения уравнения Фурье по первой гармонике и оценки его статистической корректности составим табл.:

Таблица 7

месяцы	Y	T	cos t	sin t			Yt(1)	(Yt − Yt1)2
1	636,0	0	1,00	0,00	636,00	0,00	559,90	5790,83	15924,34	0,1197
2	600,0	π/6	0,87	0,50	519,62	300,00	713,76	12941,53	8134,54	0,1896
3	605,8	π/3	0,50	0,87	302,90	524,64	812,97	42919,51	9214,40	0,3420
4	531,0	π/2	0,00	1,00	0,00	531,00	830,95	89968,59	449,09	0,5649
5	491,9	2π/3	-0,50	0,87	-245,95	426,00	762,88	73428,01	320,71	0,5509
6	482,3	5π/6	-0,87	0,50	-417,68	241,15	627,00	20936,69	756,71	0,3000
7	483,4	π	-1,00	0,00	-483,40	0,00	459,71	561,02	697,40	0,0490
8	465,0	7π/6	-0,87	-0,50	-402,70	-232,50	305,86	25326,87	2007,79	0,3422
9	462,2	4π/3	-0,50	-0,87	-231,10	-400,28	206,65	65307,63	2266,55	0,5529
10	454,0	3π/2	0,00	-1,00	0,00	-454,00	188,67	70400,53	3114,57	0,5844
11	442,1	5π/3	0,50	-0,87	221,05	-382,87	256,74	34358,10	4584,42	0,4193
12	464,0	11π/6	0,87	-0,50	401,84	-232,00	392,62	5094,89	2098,40	0,1538
Всего	6117,7	–			300,57	321,14	6117,70	447034,17	49568,91	4,17

Общий вид уравнения Фурье по первой гармонике имеет следующий вид:

t = a₀ + a₁ × cos t + b₁ × sin t.

Для оценки параметров уравнения Фурье введем условное обозначение времени t в графе 3.

Определим величину прироста переменной t как

Для определения параметров a₀, a₁, b₁ будем использовать формулы:

Для определения параметров a₀ найдем сумму Y_t.

Расчет сумм произведений осуществим таблично.

После этого рассчитаем значения параметров a₁ и b₁:

Таким образом, уравнение Фурье по первой гармонике имеет вид:

В соответствии с ним определим теоретическое значение ряда динамики и отобразим в таблице

Оценку тесноты связи проводят с помощью индекса корреляции:

В соответствии со  шкалой Чеддока связь между факторами по модели можно охарактеризовать как сильную.

На основании полученного значения индекса корреляции рассчитаем значение коэффициента детерминации:

R² = (R)² = (0,943)² = 0,889.

Таким образом, полученная модель уравнения Фурье позволила объяснить изменение стоимости производимой продукции предприятием от сезонных колебаний на 88,9%.

В заключение необходимо проверить статистическое значение полученной модели в целом. Для этого необходимо рассчитать значение F-критерия Фишера по формуле:

F=36,04

Так как для полученной модели F-критерий больше табличного, то можно сделать вывод, что она является статистически значимой.

Расчет средней ошибки аппроксимации осуществляется по формуле:

Для построения уравнения Фурье по второй гармонике и оценки его статистической корректности составим табл. 8.

Таблица 8

Месяц	Y	T	cos 2t	sin 2t	Yt × cos 2t	Yt × sin 2t	Yt(2)	(Yt − Yt2)2	(Yt − Yt‾)2
1	636	0	1,00	0,00	636,00	0,00	583,08	2800,79	15924,34	0,0832
2	600	π/6	0,50	0,87	300,00	519,62	914,87	99145,22	8134,54	0,5248
3	605,8	π/3	-0,50	0,87	-302,90	524,64	990,91	148307,97	9214,40	0,6357
4	531	π/2	-1,00	0,00	-531,00	0,00	807,77	76603,10	449,09	0,5212
5	491,9	2π/3	-0,50	-0,87	-245,95	-426,00	561,76	4880,91	320,71	0,1420
6	482,3	5π/6	0,50	-0,87	241,15	-417,68	449,06	1105,05	756,71	0,0689
7	483,4	π	1,00	0,00	483,40	0,00	482,89	0,26	697,40	0,0011
8	465	7π/6	0,50	0,87	232,50	402,70	506,97	1761,34	2007,79	0,0903
9	462,2	4π/3	-0,50	0,87	-231,10	400,28	384,58	6024,25	2266,55	0,1679
10	454	3π/2	-1,00	0,00	-454,00	0,00	165,49	83235,70	3114,57	0,6355
11	442,1	5π/3	-0,50	-0,87	-221,05	-382,87	55,63	149360,51	4584,42	0,8742
12	464	11π/6	0,50	-0,87	232,00	-401,84	214,68	62158,46	2098,40	0,5373
∑	6117,7	–			139,05	218,84	6117,70	635383,56	49568,91	4,28

Общий вид уравнения Фурье по второй гармонике имеет следующий вид:

t = a₀ + a₁ × cos t + b₁ × sin t + a₂ × cos t + b₂ × sin t.

Для определения параметров a₂ и  b₂ будем использовать формулы:

Расчет сумм произведений осуществим таблично.

После этого рассчитаем значения параметров a₂ и b₂:

Таким образом, уравнение Фурье по второй гармонике имеет вид:

В соответствии с ним определим теоретическое значение ряда динамики и отобразим в таблице.

Оценку тесноты связи проводят с помощью индекса корреляции:

В соответствии со  шкалой Чеддока связь между факторами по модели можно охарактеризовать как заметную.

На основании полученного значения индекса корреляции рассчитаем значение коэффициента детерминации:

R² = (R)² = (0,96)² = 0,92.

Таким образом, полученная модель уравнения Фурье позволила объяснить изменение стоимости производимой продукции предприятием от сезонных колебаний на 92%.

В заключение необходимо проверить статистическое значение полученной модели в целом. Для этого необходимо рассчитать значение F– критерия Фишера по формуле:

F=20,125.

Так как полученная модель F -критерия больше табличного, то можно сказать, что полученная модель статистически значима.

Расчет средней ошибки аппроксимации осуществляется по формуле:

В соответствии с величиной ошибки аппроксимации можно сделать вывод о  том, что ни одна из моделей не подходит для оценки сезонных колебаний анализируемого показателя.

 

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт