Содержимое
ЗАДАЧА 1
Проведите механическое выравнивание динамического ряда для результативной переменной методом укрупнения интервалов и методом простой скользящей средней основываясь на следующих данных стоимости основных производственных фондов с региона за период 2001—2012 гг.:
Таблица 1
Год | Стоимость основных производственных фондов, млн руб. |
2001 | 40 182 |
2002 | 37 977 |
2003 | 34 512 |
2004 | 25 128 |
2005 | 24 581 |
2006 | 21 767 |
2007 | 20 763 |
2008 | 19 291 |
2009 | 18 134 |
2010 | 18 377 |
2011 | 18 525 |
2012 | 20 142 |
Решение
Метод укрупнения интервалов – один из основных наиболее простых методов. Основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики.
Суть метода скользящей (подвижной) средней заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3,5,7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее начиная с третьего и т.д.
Таблица 2
Механическое выравнивание
Год | Стоимость основных производственных фондов, млн руб. | Укрупнение интервалов, млн. руб. | Скользящая средняя, млн. руб. |
2001 | 40182 | 37557 | – |
2002 | 37977 | 37557 | |
2003 | 34512 | 32539 | |
2004 | 25128 | 23825,3 | 28074 |
2005 | 24581 | 23825 | |
2006 | 21767 | 22370 | |
2007 | 20763 | 19396 | 20607 |
2008 | 19291 | 19396 | |
2009 | 18134 | 18601 | |
2010 | 18377 | 19014,7 | 18345 |
2011 | 18525 | 19015 | |
2012 | 20142 | – |
Рис. 1. Выравнивание динамического ряда
На основании таблицы 2 можно сказать, что стоимость основных производственных фондов за анализируемый период имеет тенденцию к снижению
ЗАДАЧА 2
Найдите многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках x0 = 1, x1 = 4, x2 = 7 значения функции y0 = –4,6, y1 = –6,4, y2 = 24,2.
Решение
Составляем полином Лагранжа
ЗАДАЧА 3
По данным таблицы 3 проведите иерархический агломеративный кластерный анализ.
Таблица 3
Исходные статистические данные об уровне рентабельности сельхозпредприятий за 2012 год в разрезе районов Ставропольского края
Район | Средний надой молока на 1 корову в сельхозпредприятиях, кг | Средний сбор яиц от 1 курицы-несушки, шт. | Средний настриг шерсти с 1 овцы, кг (в физической массе) | Уровень рентабельности (убыточности) деятельности сельхозпредприятий, % |
Александровский | 2773 | 0 | 2,3 | -5,4 |
Андроповский | 1990 | 0 | 2,5 | -11,3 |
Апанасенковский | 2268 | 0 | 4,3 | 6,7 |
Арзгирский | 2041 | 0 | 5,1 | 13,1 |
Благодарненский | 3801 | 104 | 3,8 | 16,7 |
Буденновский | 2867 | 33 | 3,1 | 14,8 |
Георгиевский | 3957 | 309 | 0 | 10,9 |
Грачевский | 1753 | 307 | 1,5 | -10,4 |
Изобильненский | 3981 | 0 | 3,5 | 15 |
Ипатовский | 3646 | 67 | 4,9 | 15,3 |
Кировский | 3862 | 288 | 4,8 | 15,3 |
Кочубеевский | 5208 | 148 | 3,1 | 12,4 |
Красногвардейский | 4787 | 0 | 2,7 | 17,6 |
На первом шаге каждый объект выборки рассматривается как отдельный кластер. Процесс объединения кластеров происходит последовательно: на основании матрицы расстояний.
Воспользуемся агломеративным иерархическим алгоритмом классификации. В качестве расстояния между объектами примем обычное евклидовое расстояние. Тогда согласно формуле:
где l – признаки; k – количество признаков
так как показатели имеют единицы измерения, их необходимо нормировать.
Таблица 4
Безразмерные показатели
Район | Средний надой молока на 1 корову в сельхозпредприятиях, кг | Средний сбор яиц от 1 курицы-несушки, шт. | Средний настриг шерсти с 1 овцы, кг (в физической массе) | Уровень рентабельности (убыточности) деятельности сельхозпредприятий, % |
Александровский | 0,295 | 0,000 | 0,451 | 0,204 |
Андроповский | 0,069 | 0,000 | 0,490 | 0,000 |
Апанасенковский | 0,149 | 0,000 | 0,843 | 0,623 |
Арзгирский | 0,083 | 0,000 | 1,000 | 0,844 |
Благодарненский | 0,593 | 0,337 | 0,745 | 0,969 |
Буденновский | 0,322 | 0,107 | 0,608 | 0,903 |
Георгиевский | 0,638 | 1,000 | 0,000 | 0,768 |
Грачевский | 0,000 | 0,994 | 0,294 | 0,031 |
Изобильненский | 0,645 | 0,000 | 0,686 | 0,910 |
Ипатовский | 0,548 | 0,217 | 0,961 | 0,920 |
Кировский | 0,610 | 0,932 | 0,941 | 0,920 |
Кочубеевский | 1,000 | 0,479 | 0,608 | 0,820 |
Красногвардейский | 0,878 | 0,000 | 0,529 | 1,000 |
И т.д.
2. Полученные данные помещаем в таблицу (матрицу расстояний).
№ п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
1 | 0 | 0,308 | 0,592 | 0,870 | 0,934 | 0,725 | 1,280 | 1,062 | 0,822 | 0,940 | 1,312 | 1,063 | 0,990 |
2 | 0,308 | 0 | 0,958 | 1,214 | 1,271 | 1,026 | 1,298 | 0,955 | 1,194 | 1,332 | 1,589 | 1,375 | 1,319 |
3 | 0,592 | 0,958 | 0 | 1,111 | 1,122 | 0,901 | 1,170 | 0,878 | 1,066 | 1,191 | 1,431 | 1,222 | 1,193 |
4 | 0,870 | 1,214 | 1,111 | 0 | 1,243 | 1,002 | 1,274 | 0,939 | 1,170 | 1,305 | 1,560 | 1,347 | 1,295 |
5 | 0,934 | 1,271 | 1,122 | 1,243 | 0 | 0,637 | 0,742 | 0,957 | 0,681 | 0,621 | 0,587 | 0,480 | 0,776 |
6 | 0,725 | 1,026 | 0,901 | 1,002 | 0,637 | 0 | 0,928 | 0,800 | 0,828 | 0,909 | 1,093 | 0,902 | 0,956 |
7 | 1,280 | 1,298 | 1,170 | 1,274 | 0,742 | 0,928 | 0 | 1,010 | 0,695 | 0,608 | 0,509 | 0,436 | 0,779 |
8 | 1,062 | 0,955 | 0,878 | 0,939 | 0,957 | 0,800 | 1,010 | 0 | 1,310 | 1,455 | 1,725 | 1,507 | 1,432 |
9 | 0,822 | 1,194 | 1,066 | 1,170 | 0,681 | 0,828 | 0,695 | 1,310 | 0 | 0,607 | 0,497 | 0,431 | 0,781 |
10 | 0,940 | 1,332 | 1,191 | 1,305 | 0,621 | 0,909 | 0,608 | 1,455 | 0,607 | 0 | 0,667 | 0,536 | 0,784 |
11 | 1,312 | 1,589 | 1,431 | 1,560 | 0,587 | 1,093 | 0,509 | 1,725 | 0,497 | 0,667 | 0 | 0,462 | 0,776 |
12 | 1,063 | 1,375 | 1,222 | 1,347 | 0,480 | 0,902 | 0,436 | 1,507 | 0,431 | 0,536 | 0,462 | 0 | 1,112 |
13 | 0,990 | 1,319 | 1,193 | 1,295 | 0,776 | 0,956 | 0,779 | 1,432 | 0,781 | 0,784 | 0,776 | 1,112 | 0 |
3. Поиск наименьшего расстояния.
Из матрицы расстояний следует, что объекты 1 и 2 наиболее близки P1,2 = 0,308 и поэтому объединяются в один кластер.
№ п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
1 | 0 | 0,308 | 0,592 | 0,870 | 0,934 | 0,725 | 1,280 | 1,062 | 0,822 | 0,940 | 1,312 | 1,063 | 0,990 |
2 | 0,308 | 0 | 0,958 | 1,214 | 1,271 | 1,026 | 1,298 | 0,955 | 1,194 | 1,332 | 1,589 | 1,375 | 1,319 |
3 | 0,592 | 0,958 | 0 | 1,111 | 1,122 | 0,901 | 1,170 | 0,878 | 1,066 | 1,191 | 1,431 | 1,222 | 1,193 |
4 | 0,870 | 1,214 | 1,111 | 0 | 1,243 | 1,002 | 1,274 | 0,939 | 1,170 | 1,305 | 1,560 | 1,347 | 1,295 |
5 | 0,934 | 1,271 | 1,122 | 1,243 | 0 | 0,637 | 0,742 | 0,957 | 0,681 | 0,621 | 0,587 | 0,480 | 0,776 |
6 | 0,725 | 1,026 | 0,901 | 1,002 | 0,637 | 0 | 0,928 | 0,800 | 0,828 | 0,909 | 1,093 | 0,902 | 0,956 |
7 | 1,280 | 1,298 | 1,170 | 1,274 | 0,742 | 0,928 | 0 | 1,010 | 0,695 | 0,608 | 0,509 | 0,436 | 0,779 |
8 | 1,062 | 0,955 | 0,878 | 0,939 | 0,957 | 0,800 | 1,010 | 0 | 1,310 | 1,455 | 1,725 | 1,507 | 1,432 |
9 | 0,822 | 1,194 | 1,066 | 1,170 | 0,681 | 0,828 | 0,695 | 1,310 | 0 | 0,607 | 0,497 | 0,431 | 0,781 |
10 | 0,940 | 1,332 | 1,191 | 1,305 | 0,621 | 0,909 | 0,608 | 1,455 | 0,607 | 0 | 0,667 | 0,536 | 0,784 |
11 | 1,312 | 1,589 | 1,431 | 1,560 | 0,587 | 1,093 | 0,509 | 1,725 | 0,497 | 0,667 | 0 | 0,462 | 0,776 |
12 | 1,063 | 1,375 | 1,222 | 1,347 | 0,480 | 0,902 | 0,436 | 1,507 | 0,431 | 0,536 | 0,462 | 0 | 1,112 |
13 | 0,990 | 1,319 | 1,193 | 1,295 | 0,776 | 0,956 | 0,779 | 1,432 | 0,781 | 0,784 | 0,776 | 1,112 | 0 |
При формировании новой матрицы расстояний, выбираем наименьшее значение из значений объектов №1 и №2
№ п/п | 1,2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
1,2 | 0 | 0,592 | 0,870 | 0,934 | 0,725 | 1,280 | 0,955 | 0,822 | 0,940 | 1,312 | 1,063 | 0,990 |
3 | 0,592 | 0 | 1,111 | 1,122 | 0,901 | 1,170 | 0,878 | 1,066 | 1,191 | 1,431 | 1,222 | 1,193 |
4 | 0,870 | 1,111 | 0 | 1,243 | 1,002 | 1,274 | 0,939 | 1,170 | 1,305 | 1,560 | 1,347 | 1,295 |
5 | 0,934 | 1,122 | 1,243 | 0 | 0,637 | 0,742 | 0,957 | 0,681 | 0,621 | 0,587 | 0,480 | 0,776 |
6 | 0,725 | 0,901 | 1,002 | 0,637 | 0 | 0,928 | 0,800 | 0,828 | 0,909 | 1,093 | 0,902 | 0,956 |
7 | 1,280 | 1,170 | 1,274 | 0,742 | 0,928 | 0 | 1,010 | 0,695 | 0,608 | 0,509 | 0,436 | 0,779 |
8 | 0,955 | 0,878 | 0,939 | 0,957 | 0,800 | 1,010 | 0 | 1,310 | 1,455 | 1,725 | 1,507 | 1,432 |
9 | 0,822 | 1,066 | 1,170 | 0,681 | 0,828 | 0,695 | 1,310 | 0 | 0,607 | 0,497 | 0,431 | 0,781 |
10 | 0,940 | 1,191 | 1,305 | 0,621 | 0,909 | 0,608 | 1,455 | 0,607 | 0 | 0,667 | 0,536 | 0,784 |
11 | 1,312 | 1,431 | 1,560 | 0,587 | 1,093 | 0,509 | 1,725 | 0,497 | 0,667 | 0 | 0,462 | 0,776 |
12 | 1,063 | 1,222 | 1,347 | 0,480 | 0,902 | 0,436 | 1,507 | 0,431 | 0,536 | 0,462 | 0 | 1,112 |
13 | 0,990 | 1,193 | 1,295 | 0,776 | 0,956 | 0,779 | 1,432 | 0,781 | 0,784 | 0,776 | 1,112 | 0 |
Объединяем 9 и 12
№ п/п | 1,2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9,12 | 10 | 11 | 13 |
1,2 | 0 | 0,592 | 0,870 | 0,934 | 0,725 | 1,280 | 0,955 | 0,822 | 0,940 | 1,312 | 0,990 |
3 | 0,592 | 0 | 1,111 | 1,122 | 0,901 | 1,170 | 0,878 | 1,066 | 1,191 | 1,431 | 1,193 |
4 | 0,870 | 1,111 | 0 | 1,243 | 1,002 | 1,274 | 0,939 | 1,170 | 1,305 | 1,560 | 1,295 |
5 | 0,934 | 1,122 | 1,243 | 0 | 0,637 | 0,742 | 0,957 | 0,480 | 0,621 | 0,587 | 0,776 |
6 | 0,725 | 0,901 | 1,002 | 0,637 | 0 | 0,928 | 0,800 | 0,828 | 0,909 | 1,093 | 0,956 |
7 | 1,280 | 1,170 | 1,274 | 0,742 | 0,928 | 0 | 1,010 | 0,695 | 0,608 | 0,509 | 0,779 |
8 | 0,955 | 0,878 | 0,939 | 0,957 | 0,800 | 1,010 | 0 | 1,310 | 1,455 | 1,725 | 1,432 |
9,12 | 0,822 | 1,066 | 1,170 | 0,480 | 0,828 | 0,695 | 1,310 | 0 | 0,607 | 0,497 | 0,781 |
10 | 0,940 | 1,191 | 1,305 | 0,621 | 0,909 | 0,608 | 1,455 | 0,607 | 0 | 0,667 | 0,784 |
11 | 1,312 | 1,431 | 1,560 | 0,587 | 1,093 | 0,509 | 1,725 | 0,497 | 0,667 | 0 | 0,776 |
13 | 0,990 | 1,193 | 1,295 | 0,776 | 0,956 | 0,779 | 1,432 | 0,781 | 0,784 | 0,776 | 0 |
Объединяем (4,12) и 5
№ п/п | 1,2 | 3 | 4 | 5,9,12 | 6 | 7 | 8 | 10 | 11 | 13 |
1,2 | 0 | 0,592 | 0,870 | 0,822 | 0,725 | 1,280 | 0,955 | 0,940 | 1,312 | 0,990 |
3 | 0,592 | 0 | 1,111 | 1,066 | 0,901 | 1,170 | 0,878 | 1,191 | 1,431 | 1,193 |
4 | 0,870 | 1,111 | 0 | 1,170 | 1,002 | 1,274 | 0,939 | 1,305 | 1,560 | 1,295 |
5,9,12 | 0,822 | 1,066 | 1,170 | 0 | 0,637 | 0,695 | 0,957 | 0,607 | 0,497 | 0,776 |
6 | 0,725 | 0,901 | 1,002 | 0,637 | 0 | 0,928 | 0,800 | 0,909 | 1,093 | 0,956 |
7 | 1,280 | 1,170 | 1,274 | 0,695 | 0,928 | 0 | 1,010 | 0,608 | 0,509 | 0,779 |
8 | 0,955 | 0,878 | 0,939 | 0,957 | 0,800 | 1,010 | 0 | 1,455 | 1,725 | 1,432 |
10 | 0,940 | 1,191 | 1,305 | 0,607 | 0,909 | 0,608 | 1,455 | 0 | 0,667 | 0,784 |
11 | 1,312 | 1,431 | 1,560 | 0,497 | 1,093 | 0,509 | 1,725 | 0,667 | 0 | 0,776 |
13 | 0,990 | 1,193 | 1,295 | 0,776 | 0,956 | 0,779 | 1,432 | 0,784 | 0,776 | 0 |
Объединяем (5,9,12) и 11
№ п/п | 1,2 | 3 | 4 | 5,9,11,12 | 6 | 7 | 8 | 10 | 13 |
1,2 | 0 | 0,592 | 0,870 | 0,822 | 0,725 | 1,280 | 0,955 | 0,940 | 0,990 |
3 | 0,592 | 0 | 1,111 | 1,066 | 0,901 | 1,170 | 0,878 | 1,191 | 1,193 |
4 | 0,870 | 1,111 | 0 | 1,170 | 1,002 | 1,274 | 0,939 | 1,305 | 1,295 |
5,9,11,12 | 0,822 | 1,066 | 1,170 | 0 | 0,509 | 0,695 | 0,957 | 0,607 | 0,776 |
6 | 0,725 | 0,901 | 1,002 | 0,509 | 0 | 0,928 | 0,800 | 0,909 | 0,956 |
7 | 1,280 | 1,170 | 1,274 | 0,695 | 0,928 | 0 | 1,010 | 0,608 | 0,779 |
8 | 0,955 | 0,878 | 0,939 | 0,957 | 0,800 | 1,010 | 0 | 1,455 | 1,432 |
10 | 0,940 | 1,191 | 1,305 | 0,607 | 0,909 | 0,608 | 1,455 | 0 | 0,784 |
13 | 0,990 | 1,193 | 1,295 | 0,776 | 0,956 | 0,779 | 1,432 | 0,784 | 0 |
Объединяем (5,9,11,12) и 6
№ п/п | 1,2 | 3 | 4 | 5,9,11,12 | 7 | 8 | 10 | 13 |
1,2 | 0 | 0,592 | 0,870 | 0,725 | 1,280 | 0,955 | 0,940 | 0,990 |
3 | 0,592 | 0 | 1,111 | 0,901 | 1,170 | 0,878 | 1,191 | 1,193 |
4 | 0,870 | 1,111 | 0 | 1,002 | 1,274 | 0,939 | 1,305 | 1,295 |
5,9,11,12 | 0,725 | 0,901 | 1,002 | 0 | 0,695 | 0,800 | 0,607 | 0,776 |
7 | 1,280 | 1,170 | 1,274 | 0,695 | 0 | 1,010 | 0,608 | 0,779 |
8 | 0,955 | 0,878 | 0,939 | 0,800 | 1,010 | 0 | 1,455 | 1,432 |
10 | 0,940 | 1,191 | 1,305 | 0,607 | 0,608 | 1,455 | 0 | 0,784 |
13 | 0,990 | 1,193 | 1,295 | 0,776 | 0,779 | 1,432 | 0,784 | 0 |
Объединяем (1,2) и 3
№ п/п | 1,2,3 | 4 | 5,9,11,12 | 7 | 8 | 10 | 13 |
1,2,3 | 0 | 0,870 | 0,725 | 1,170 | 0,878 | 0,940 | 0,990 |
4 | 0,870 | 0 | 1,002 | 1,274 | 0,939 | 1,305 | 1,295 |
5,9,11,12 | 0,725 | 1,002 | 0 | 0,695 | 0,800 | 0,607 | 0,776 |
7 | 1,170 | 1,274 | 0,695 | 0 | 1,010 | 0,608 | 0,779 |
8 | 0,878 | 0,939 | 0,800 | 1,010 | 0 | 1,455 | 1,432 |
10 | 0,940 | 1,305 | 0,607 | 0,608 | 1,455 | 0 | 0,784 |
13 | 0,990 | 1,295 | 0,776 | 0,779 | 1,432 | 0,784 | 0 |
Объединяем (5,9,11,12) и 10
№ п/п | 1,2,3 | 4 | 5,9,11,10,12 | 7 | 8 | 13 |
1,2,3 | 0 | 0,870 | 0,725 | 1,170 | 0,878 | 0,990 |
4 | 0,870 | 0 | 1,002 | 1,274 | 0,939 | 1,295 |
5,9,11,10,12 | 0,725 | 1,002 | 0 | 0,608 | 0,800 | 0,776 |
7 | 1,170 | 1,274 | 0,608 | 0 | 1,010 | 0,779 |
8 | 0,878 | 0,939 | 0,800 | 1,010 | 0 | 1,432 |
13 | 0,990 | 1,295 | 0,776 | 0,779 | 1,432 | 0 |
Объединяем (5,9,11,12) и 7
№ п/п | 1,2,3 | 4 | 5,7,9,11,10,12 | 8 | 13 |
1,2,3 | 0 | 0,870 | 0,725 | 0,878 | 0,990 |
4 | 0,870 | 0 | 1,002 | 0,939 | 1,295 |
5,7,9,11,10,12 | 0,725 | 1,002 | 0 | 0,800 | 0,776 |
8 | 0,878 | 0,939 | 0,800 | 0 | 1,432 |
13 | 0,990 | 1,295 | 0,776 | 1,432 | 0 |
Объединяем (5,7,9,11,12) и (1,2,3)
№ п/п | 1,2,3,5,7,9,10,11,12 | 4 | 8 | 13 |
1,2,3,5,7,9,10,11,12 | 0 | 0,870 | 0,800 | 0,990 |
4 | 0,870 | 0 | 0,939 | 1,295 |
8 | 0,800 | 0,939 | 0 | 1,432 |
13 | 0,990 | 1,295 | 1,432 | 0 |
Объединяем (1,2,3,5,7,9,10,11,12) и 8
№ п/п | 1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12 | 4 | 13 |
1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12 | 0 | 0,870 | 0,990 |
4 | 0,870 | 0 | 1,295 |
13 | 0,990 | 1,295 | 0 |
Объединяем (1,2,3,5,7,8,9,10,11,12) и 4
№ п/п | 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 | 13 |
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 | 0 | 0,990 |
13 | 0,990 | 0 |
Таким образом, при проведении кластерного анализа по принципу “ближнего соседа” получили два кластера, расстояние между которыми равно P=0,950
ЗАДАЧА 4
Для парного уравнения регрессии, аппроксимированного на основе показательной функции для десяти наблюдений, известны следующие значения: ∑х = 132, ∑х2 = 1183, ∑х × lgy = 1152, ∑lgy = 58,3, ∑(lgy)2 = 151,43. Определите параметры уравнения регрессии.
Решение
Показательная регрессия
Линеаризация
МНК для линейной регрессии
После замены переменных
После алгебраических преобразований параметры уравнения регрессии
ЗАДАЧА 5
Рассчитайте коэффициент корреляции для парной прямолинейной зависимости при двенадцати узловых точках если известно, что ∑х = 15, ∑х2 = 85, ∑ух = 95, ∑у = 58, ∑у2 = 320, ∑ух2 = 95, ∑у2х2 = 95. Дайте характеристику силе связи.
Решение
Коэффициент корреляции
Связь между показателями сильная, прямая, так как показатель находится в диапазоне 0,7-1.
ЗАДАЧА 6
По данным о внутригодовой динамике изменения производства яиц в хозяйствах региона (таблица 6), построить уравнение Фурье по первой и второй гармоникам; оценить их статистическую значимость и сделать вывод о наиболее приемлемой форме модели для оценки сезонных колебаний анализируемого показателя.
Таблица 6
Производство яиц в хозяйствах населения в 2012 г.
Месяц года | Производство Y, тыс. шт. | Месяц года | Производство Y, тыс. шт. |
1 | 636,0 | 7 | 483,4 |
2 | 600,0 | 8 | 465,0 |
3 | 605,8 | 9 | 462,2 |
4 | 531,0 | 10 | 454,0 |
5 | 491,9 | 11 | 442,1 |
6 | 482,3 | 12 | 464,0 |
Решение
Для построения уравнения Фурье по первой гармонике и оценки его статистической корректности составим табл.:
Таблица 7
месяцы | Y | T | cos t | sin t | ![]() |
![]() |
Yt(1) | (Yt − Yt1)2 | ![]() |
![]() |
1 | 636,0 | 0 | 1,00 | 0,00 | 636,00 | 0,00 | 559,90 | 5790,83 | 15924,34 | 0,1197 |
2 | 600,0 | π/6 | 0,87 | 0,50 | 519,62 | 300,00 | 713,76 | 12941,53 | 8134,54 | 0,1896 |
3 | 605,8 | π/3 | 0,50 | 0,87 | 302,90 | 524,64 | 812,97 | 42919,51 | 9214,40 | 0,3420 |
4 | 531,0 | π/2 | 0,00 | 1,00 | 0,00 | 531,00 | 830,95 | 89968,59 | 449,09 | 0,5649 |
5 | 491,9 | 2π/3 | -0,50 | 0,87 | -245,95 | 426,00 | 762,88 | 73428,01 | 320,71 | 0,5509 |
6 | 482,3 | 5π/6 | -0,87 | 0,50 | -417,68 | 241,15 | 627,00 | 20936,69 | 756,71 | 0,3000 |
7 | 483,4 | π | -1,00 | 0,00 | -483,40 | 0,00 | 459,71 | 561,02 | 697,40 | 0,0490 |
8 | 465,0 | 7π/6 | -0,87 | -0,50 | -402,70 | -232,50 | 305,86 | 25326,87 | 2007,79 | 0,3422 |
9 | 462,2 | 4π/3 | -0,50 | -0,87 | -231,10 | -400,28 | 206,65 | 65307,63 | 2266,55 | 0,5529 |
10 | 454,0 | 3π/2 | 0,00 | -1,00 | 0,00 | -454,00 | 188,67 | 70400,53 | 3114,57 | 0,5844 |
11 | 442,1 | 5π/3 | 0,50 | -0,87 | 221,05 | -382,87 | 256,74 | 34358,10 | 4584,42 | 0,4193 |
12 | 464,0 | 11π/6 | 0,87 | -0,50 | 401,84 | -232,00 | 392,62 | 5094,89 | 2098,40 | 0,1538 |
Всего | 6117,7 | – | 300,57 | 321,14 | 6117,70 | 447034,17 | 49568,91 | 4,17 |
Общий вид уравнения Фурье по первой гармонике имеет следующий вид:
t = a0 + a1 × cos t + b1 × sin t.
Для оценки параметров уравнения Фурье введем условное обозначение времени t в графе 3.
Определим величину прироста переменной t как
Для определения параметров a0, a1, b1 будем использовать формулы:
Для определения параметров a0 найдем сумму Yt.
Расчет сумм произведений осуществим таблично.
После этого рассчитаем значения параметров a1 и b1:
Таким образом, уравнение Фурье по первой гармонике имеет вид:
В соответствии с ним определим теоретическое значение ряда динамики и отобразим в таблице
Оценку тесноты связи проводят с помощью индекса корреляции:
В соответствии со шкалой Чеддока связь между факторами по модели можно охарактеризовать как сильную.
На основании полученного значения индекса корреляции рассчитаем значение коэффициента детерминации:
R2 = (R)2 = (0,943)2 = 0,889.
Таким образом, полученная модель уравнения Фурье позволила объяснить изменение стоимости производимой продукции предприятием от сезонных колебаний на 88,9%.
В заключение необходимо проверить статистическое значение полученной модели в целом. Для этого необходимо рассчитать значение F-критерия Фишера по формуле:
F=36,04
Так как для полученной модели F-критерий больше табличного, то можно сделать вывод, что она является статистически значимой.
Расчет средней ошибки аппроксимации осуществляется по формуле:
Для построения уравнения Фурье по второй гармонике и оценки его статистической корректности составим табл. 8.
Таблица 8
Месяц | Y | T | cos 2t | sin 2t | Yt × cos 2t | Yt × sin 2t | Yt(2) | (Yt − Yt2)2 | (Yt − Yt‾)2 | ![]() |
1 | 636 | 0 | 1,00 | 0,00 | 636,00 | 0,00 | 583,08 | 2800,79 | 15924,34 | 0,0832 |
2 | 600 | π/6 | 0,50 | 0,87 | 300,00 | 519,62 | 914,87 | 99145,22 | 8134,54 | 0,5248 |
3 | 605,8 | π/3 | -0,50 | 0,87 | -302,90 | 524,64 | 990,91 | 148307,97 | 9214,40 | 0,6357 |
4 | 531 | π/2 | -1,00 | 0,00 | -531,00 | 0,00 | 807,77 | 76603,10 | 449,09 | 0,5212 |
5 | 491,9 | 2π/3 | -0,50 | -0,87 | -245,95 | -426,00 | 561,76 | 4880,91 | 320,71 | 0,1420 |
6 | 482,3 | 5π/6 | 0,50 | -0,87 | 241,15 | -417,68 | 449,06 | 1105,05 | 756,71 | 0,0689 |
7 | 483,4 | π | 1,00 | 0,00 | 483,40 | 0,00 | 482,89 | 0,26 | 697,40 | 0,0011 |
8 | 465 | 7π/6 | 0,50 | 0,87 | 232,50 | 402,70 | 506,97 | 1761,34 | 2007,79 | 0,0903 |
9 | 462,2 | 4π/3 | -0,50 | 0,87 | -231,10 | 400,28 | 384,58 | 6024,25 | 2266,55 | 0,1679 |
10 | 454 | 3π/2 | -1,00 | 0,00 | -454,00 | 0,00 | 165,49 | 83235,70 | 3114,57 | 0,6355 |
11 | 442,1 | 5π/3 | -0,50 | -0,87 | -221,05 | -382,87 | 55,63 | 149360,51 | 4584,42 | 0,8742 |
12 | 464 | 11π/6 | 0,50 | -0,87 | 232,00 | -401,84 | 214,68 | 62158,46 | 2098,40 | 0,5373 |
∑ | 6117,7 | – | 139,05 | 218,84 | 6117,70 | 635383,56 | 49568,91 | 4,28 |
Общий вид уравнения Фурье по второй гармонике имеет следующий вид:
t = a0 + a1 × cos t + b1 × sin t + a2 × cos t + b2 × sin t.
Для определения параметров a2 и b2 будем использовать формулы:
Расчет сумм произведений осуществим таблично.
После этого рассчитаем значения параметров a2 и b2:
Таким образом, уравнение Фурье по второй гармонике имеет вид:
В соответствии с ним определим теоретическое значение ряда динамики и отобразим в таблице.
Оценку тесноты связи проводят с помощью индекса корреляции:
В соответствии со шкалой Чеддока связь между факторами по модели можно охарактеризовать как заметную.
На основании полученного значения индекса корреляции рассчитаем значение коэффициента детерминации:
R2 = (R)2 = (0,96)2 = 0,92.
Таким образом, полученная модель уравнения Фурье позволила объяснить изменение стоимости производимой продукции предприятием от сезонных колебаний на 92%.
В заключение необходимо проверить статистическое значение полученной модели в целом. Для этого необходимо рассчитать значение F– критерия Фишера по формуле:
F=20,125.
Так как полученная модель F -критерия больше табличного, то можно сказать, что полученная модель статистически значима.
Расчет средней ошибки аппроксимации осуществляется по формуле:
В соответствии с величиной ошибки аппроксимации можно сделать вывод о том, что ни одна из моделей не подходит для оценки сезонных колебаний анализируемого показателя.
Доступа нет, контент закрыт
Доступ закрыт
Полный текст и возможность скачивания доступны только для пользователей с Премиум подпиской.
Если вы уже имеете Премиум подписку, то авторизируйтесь для доступа к полному тексту и возможности его скачать.
ВЫБЕРИТЕ ВАШ ТАРИФ
-
- PREMIUM_30
-
599
-
- PREMIUM_60
-
999
-
- PREMIUM_90
-
1599
Доступ закрыт
Полный текст и возможность скачивания доступны только для пользователей с Премиум подпиской.
Если вы уже имеете Премиум подписку, то авторизируйтесь для доступа к полному тексту и возможности его скачать.
ВЫБЕРИТЕ ВАШ ТАРИФ
-
- PREMIUM_30
-
599
-
- PREMIUM_60
-
999
-
- PREMIUM_90
-
1599
Доступ закрыт
Полный текст и возможность скачивания доступны только для пользователей с Премиум подпиской.
Если вы уже имеете Премиум подписку, то авторизируйтесь для доступа к полному тексту и возможности его скачать.
ВЫБЕРИТЕ ВАШ ТАРИФ
-
- PREMIUM_30
-
599
-
- PREMIUM_60
-
999
-
- PREMIUM_90
-
1599