Эконометрика

Содержимое

Задача 1

Постройте интерполяционную функцию по значениям решетчато-заданной функции:

Таблица 1

X	1	3	6
Y	11,6	21,2	17,6

Решение

Полином Лагранжа

Задача 2

По данным таблицы проведите иерархический агломеративный кластерный анализ.

Таблица 1 Исходные статистические данные об основных фондах за 2012 год в разрезе районов Ставропольского края

Район	Основные фонды на конец года, млн руб.	Степень износа, %	Количество тракторов (всего), шт.	Количество зерноуборочных комбайнов (всего), шт.
Левокумский	886,7	30,4	621	176
Минераловодский	13 770,5	27,3	394	80
Нефтекумский	9 624,9	53,4	351	89
Новоалександровский	3 589,9	39,0	878	239
Новоселицкий	495,6	37,7	483	207
Петровский	3 151,2	34,5	932	285
Предгорный	1 398,3	38,2	513	78
Советский	1 867,9	54,7	769	242
Степновский	321,0	38,2	421	122
Труновский	1 377,7	48,7	953	201
Туркменский	520,4	51,0	458	151
Шпаковский	1 854,1	45,6	331	71

Решение

На первом шаге каждый объект выборки рассматривается как отдельный кластер. Процесс объединения кластеров происходит последовательно: на основании матрицы расстояний.

Воспользуемся агломеративным иерархическим алгоритмом классификации. В качестве расстояния между объектами примем обычное евклидовое расстояние. Тогда согласно формуле:

где l – признаки; k – количество признаков

так как показатели имеют единицы измерения, их необходимо нормировать.

Таблица 2 – Безразмерные показатели

Район	Основные фонды на конец года, млн руб.	Степень износа, %	Количество тракторов (всего), шт.	Количество зерноуборочных комбайнов (всего), шт.
Левокумский	0,042	0,113	0,466	0,491
Минераловодский	1,000	0,000	0,101	0,042
Нефтекумский	0,692	0,953	0,032	0,084
Новоалександровский	0,243	0,427	0,879	0,785
Новоселицкий	0,013	0,380	0,244	0,636
Петровский	0,210	0,263	0,966	1,000
Предгорный	0,080	0,398	0,293	0,033
Советский	0,115	1,000	0,704	0,799
Степновский	0,000	0,398	0,145	0,238
Труновский	0,079	0,781	1,000	0,607
Туркменский	0,015	0,865	0,204	0,374
Шпаковский	0,114	0,668	0,000	0,000

И т.д.

2. Полученные данные помещаем в таблицу (матрицу расстояний).

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0	1,125	1,217	0,630	0,377	0,748	0,568	0,971	0,500	0,864	0,805	0,878
2	1,125	0	1,369	0,981	1,436	1,081	1,626	0,955	1,635	1,025	1,419	1,702
3	1,217	1,369	0	0,562	0,873	0,766	1,027	0,663	1,034	0,697	0,909	1,136
4	0,630	0,981	0,562	0	0,475	1,048	0,312	1,054	0,304	1,011	0,676	0,562
5	0,377	1,436	0,873	0,475	0	1,409	0,481	1,442	0,465	1,386	0,945	0,663
6	0,748	1,081	0,766	1,048	1,409	0	0,301	1,106	0,291	1,060	0,702	0,554
7	0,568	1,626	1,027	0,312	0,481	0,301	0	1,324	0,370	1,271	0,850	0,600
8	0,971	0,955	0,663	1,054	1,442	1,106	1,324	0	0,331	1,213	0,805	0,576
9	0,500	1,635	1,034	0,304	0,465	0,291	0,370	0,331	0	1,409	0,964	0,678
10	0,864	1,025	0,697	1,011	1,386	1,060	1,271	1,213	1,409	0	0,852	0,601
11	0,805	1,419	0,909	0,676	0,945	0,702	0,850	0,805	0,964	0,852	0	0,661
12	0,878	1,702	1,136	0,562	0,663	0,554	0,600	0,576	0,678	0,601	0,661	0

3. Поиск наименьшего расстояния.

Из матрицы расстояний следует, что объекты 6 и 9 наиболее близки P_9,6 = 0,291 и поэтому объединяются в один кластер.

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0	1,125	1,217	0,630	0,377	0,748	0,568	0,971	0,500	0,864	0,805	0,878
2	1,125	0	1,369	0,981	1,436	1,081	1,626	0,955	1,635	1,025	1,419	1,702
3	1,217	1,369	0	0,562	0,873	0,766	1,027	0,663	1,034	0,697	0,909	1,136
4	0,630	0,981	0,562	0	0,475	1,048	0,312	1,054	0,304	1,011	0,676	0,562
5	0,377	1,436	0,873	0,475	0	1,409	0,481	1,442	0,465	1,386	0,945	0,663
6	0,748	1,081	0,766	1,048	1,409	0	0,301	1,106	0,291	1,060	0,702	0,554
7	0,568	1,626	1,027	0,312	0,481	0,301	0	1,324	0,370	1,271	0,850	0,600
8	0,971	0,955	0,663	1,054	1,442	1,106	1,324	0	0,331	1,213	0,805	0,576
9	0,500	1,635	1,034	0,304	0,465	0,291	0,370	0,331	0	1,409	0,964	0,678
10	0,864	1,025	0,697	1,011	1,386	1,060	1,271	1,213	1,409	0	0,852	0,601
11	0,805	1,419	0,909	0,676	0,945	0,702	0,850	0,805	0,964	0,852	0	0,661
12	0,878	1,702	1,136	0,562	0,663	0,554	0,600	0,576	0,678	0,601	0,661	0

При формировании новой матрицы расстояний, выбираем наименьшее значение из значений объектов №6 и №9.

№ п/п	1	2	3	4	5	6,9	7	8	10	11	12
1	0	1,125	1,217	0,630	0,377	0,500	0,568	0,971	0,864	0,805	0,878
2	1,125	0	1,369	0,981	1,436	1,081	1,626	0,955	1,025	1,419	1,702
3	1,217	1,369	0	0,562	0,873	0,766	1,027	0,663	0,697	0,909	1,136
4	0,630	0,981	0,562	0	0,475	0,304	0,312	1,054	1,011	0,676	0,562
5	0,377	1,436	0,873	0,475	0	1,409	0,481	1,442	1,386	0,945	0,663
6,9	0,500	1,081	0,766	0,304	1,409	0	0,301	1,106	1,060	0,702	0,554
7	0,568	1,626	1,027	0,312	0,481	0,301	0	1,324	1,271	0,850	0,600
8	0,971	0,955	0,663	1,054	1,442	1,106	1,324	0	1,213	0,805	0,576
10	0,864	1,025	0,697	1,011	1,386	1,060	1,271	1,213	0	0,852	0,601
11	0,805	1,419	0,909	0,676	0,945	0,702	0,850	0,805	0,852	0	0,661
12	0,878	1,702	1,136	0,562	0,663	0,554	0,600	0,576	0,601	0,661	0

Объединяем (6,9) и 7

№ п/п	1	2	3	4	5	6,7,9	8	10	11	12
1	0	1,125	1,217	0,630	0,377	0,500	0,971	0,864	0,805	0,878
2	1,125	0	1,369	0,981	1,436	1,081	0,955	1,025	1,419	1,702
3	1,217	1,369	0	0,562	0,873	0,766	0,663	0,697	0,909	1,136
4	0,630	0,981	0,562	0	0,475	0,304	1,054	1,011	0,676	0,562
5	0,377	1,436	0,873	0,475	0	1,409	1,442	1,386	0,945	0,663
6,7,9	0,500	1,081	0,766	0,304	1,409	0	1,106	1,060	0,702	0,554
8	0,971	0,955	0,663	1,054	1,442	1,106	0	1,213	0,805	0,576
10	0,864	1,025	0,697	1,011	1,386	1,060	1,213	0	0,852	0,601
11	0,805	1,419	0,909	0,676	0,945	0,702	0,805	0,852	0	0,661
12	0,878	1,702	1,136	0,562	0,663	0,554	0,576	0,601	0,661	0

Объединяем (6,7,9) и 4

№ п/п	1	2	3	5	4,6,7,9	8	10	11	12
1	0	1,125	1,217	0,377	0,500	0,971	0,864	0,805	0,878
2	1,125	0	1,369	1,436	0,981	0,955	1,025	1,419	1,702
3	1,217	1,369	0	0,873	0,562	0,663	0,697	0,909	1,136
5	0,377	1,436	0,873	0	1,409	1,442	1,386	0,945	0,663
4,6,7,9	0,500	0,981	0,562	1,409	0	1,054	1,011	0,676	0,554
8	0,971	0,955	0,663	1,442	1,054	0	1,213	0,805	0,576
10	0,864	1,025	0,697	1,386	1,011	1,213	0	0,852	0,601
11	0,805	1,419	0,909	0,945	0,676	0,805	0,852	0	0,661
12	0,878	1,702	1,136	0,663	0,554	0,576	0,601	0,661	0

Объединяем 1 и 5

№ п/п	1,5	2	3	4,6,7,9	8	10	11	12
1,5	0	1,125	0,873	0,500	0,971	0,864	0,805	0,663
2	1,125	0	1,369	0,981	0,955	1,025	1,419	1,702
3	0,873	1,369	0	0,562	0,663	0,697	0,909	1,136
4,6,7,9	0,500	0,981	0,562	0	1,054	1,011	0,676	0,554
8	0,971	0,955	0,663	1,054	0	1,213	0,805	0,576
10	0,864	1,025	0,697	1,011	1,213	0	0,852	0,601
11	0,805	1,419	0,909	0,676	0,805	0,852	0	0,661
12	0,663	1,702	1,136	0,554	0,576	0,601	0,661	0

Объединяем (1,5) и (4,6,7,9)

№ п/п	1,4,5,6,7,9	2	3	8	10	11	12
1,4,5,6,7,9	0	0,981	0,562	0,971	0,864	0,676	0,554
2	0,981	0	1,369	0,955	1,025	1,419	1,702
3	0,562	1,369	0	0,663	0,697	0,909	1,136
8	0,971	0,955	0,663	0	1,213	0,805	0,576
10	0,864	1,025	0,697	1,213	0	0,852	0,601
11	0,676	1,419	0,909	0,805	0,852	0	0,661
12	0,554	1,702	1,136	0,576	0,601	0,661	0

Объединяем (1,4,5,6,7,9) и 12

№ п/п	1,4,5,6,7,9,12	2	3	8	10	11
1,4,5,6,7,9,12	0	0,981	0,562	0,576	0,601	0,661
2	0,981	0	1,369	0,955	1,025	1,419
3	0,562	1,369	0	0,663	0,697	0,909
8	0,576	0,955	0,663	0	1,213	0,805
10	0,601	1,025	0,697	1,213	0	0,852
11	0,661	1,419	0,909	0,805	0,852	0

Объединяем (1,4,5,6,7,9,12) и 3

№ п/п	1,3,4,5,6,7,9,12	2	8	10	11
1,3,4,5,6,7,9,12	0	0,981	0,576	0,601	0,661
2	0,981	0	0,955	1,025	1,419
8	0,576	0,955	0	1,213	0,805
10	0,601	1,025	1,213	0	0,852
11	0,661	1,419	0,805	0,852	0

Объединяем (1,3,4,5,6,7,9,12) и 8

№ п/п	1,3,4,5,6,7,8,9,12	2	10	11
1,3,4,5,6,7,8,9,12	0	0,955	0,601	0,661
2	0,955	0	1,025	1,419
10	0,601	1,025	0	0,852
11	0,661	1,419	0,852	0

Объединяем (1,3,4,5,6,7,8,9,12) и 10

№ п/п	1,3,4,5,6,7,8,9,10,12	2	11
1,3,4,5,6,7,8,9,10,12	0	0,955	0,661
2	0,955	0	1,419
11	0,661	1,419	0

Объединяем (1,3,4,5,6,7,8,9,10,12) и 11

№ п/п	1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12	2
1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12	0	0,955
2	0,955	0

Таким образом, при проведении кластерного анализа по принципу “ближнего соседа” получили два кластера, расстояние между которыми равно P=0,955

Задача 3

По данным таблицы оценить параметры уравнений регрессии следующего вида:

а) линейной: y_x = a₀ + a₁x;

б) степенной: y_x = a₀ × .

Таблица 3 Данные об индексе физического объема инвестиций и стоимости сельскохозяйственной продукции в 2012 г.
в разрезе районов Ставропольского края

Номер района	Индекс физического объема инвестиций, % к предыдущему году	Среднесложившиеся цены на зерно, реализованное по всем каналам, руб./ц
	Y	X
1	141,9	320,7
2	64,1	282,1
3	89,3	318,5
4	49,6	268,5
5	116,3	282,8
6	110	295,6
7	66,9	339,9
8	138,6	262,8
9	159,5	276,6
10	131	321,5
11	129	290
12	87,5	313,3
13	84,3	259,4
14	116,1	282,6

Решение

Линейная модель

a₀n + a₁∑x = ∑y

a₀∑x + a₁∑x² = ∑yx

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 4)

Таблица 4

Район	x	y	x2	y2	x * y
1	320,7	141,9	102848,49	20135,61	45507,33
2	282,1	64,1	79580,41	4108,81	18082,61
3	318,5	89,3	101442,25	7974,49	28442,05
4	268,5	49,6	72092,25	2460,16	13317,6
5	282,8	116,3	79975,84	13525,69	32889,64
6	295,6	110	87379,36	12100	32516
7	339,9	66,9	115532,01	4475,61	22739,31
8	262,8	138,6	69063,84	19209,96	36424,08
9	276,6	159,5	76507,56	25440,25	44117,7
10	321,5	131	103362,25	17161	42116,5
11	290	129	84100	16641	37410
12	313,3	87,5	98156,89	7656,25	27413,75
13	259,4	84,3	67288,36	7106,49	21867,42
14	282,6	116,1	79862,76	13479,21	32809,86
Сумма	4114,3	1484,1	1217192,27	171474,53	435653,85

14 a₀ + 4114,3 a₁ = 1484,1

4114,3 a₀ + 1217192,27 a₁ = 435653,85

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: a₁ = -0,06075, a₀ = 123,8607

Уравнение регрессии

y = -0,06075 x + 123,8607

Степенная модель

Таблица 5

Район	ln(x)	ln(y)	ln(x)2	ln(y)2	ln(x) * ln(y)
1	5,77	4,96	33,3	24,55	28,59
2	5,64	4,16	31,84	17,31	23,47
3	5,76	4,49	33,22	20,18	25,89
4	5,59	3,9	31,28	15,24	21,83
5	5,64	4,76	31,86	22,62	26,85
6	5,69	4,7	32,36	22,09	26,74
7	5,83	4,2	33,97	17,67	24,5
8	5,57	4,93	31,04	24,32	27,48
9	5,62	5,07	31,61	25,73	28,52
10	5,77	4,88	33,33	23,77	28,14
11	5,67	4,86	32,15	23,62	27,55
12	5,75	4,47	33,03	20	25,7
13	5,56	4,43	30,9	19,66	24,65
14	5,64	4,75	31,86	22,6	26,83
Сумма	79,52	64,57	451,74	299,36	366,75

14a + 79,52 b = 64,57

79,52 a + 451,74 b = 366,75

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:

b = 0,02826, a = 4,4517

Уравнение регрессии

y = e^4.45166023x^0.02826 = 85.76922x^0.02826

Задача 4

Рассчитайте коэффициент корреляции для парной криволинейной зависимости при двенадцати узловых точках, если известно, что ∑х = 15, ∑х² = 85, ∑ух = 95, ∑у = 58, ∑у² = 320, остаточная дисперсия результативного признака равна 7,6, а общая дисперсия — 15,2. Дайте характеристику силе связи.

Решение

Для криволинейной зависимости рассчитывается индекс корреляции

Показатель в диапазоне 0,7-0,9, связь сильная.

Задача 5

По данным таблицы о приплоде телят, полученном сельскохозяйственными товаропроизводителями y и падеже крупного рогатого скота x за 1990—2008 гг. в Ставропольском крае постройте уравнение регрессии и рассчитайте теоретические значения результативного признака, определите автокорреляцию остатков использую критерий Дарбина—Уотсона, полученную величину сравните с табличной и сделайте вывод.

Таблица 6 Данные о приплоде телят, полученном сельскохозяйственными товаропроизводителями и падеже крупного рогатого скота за 1990—2008 гг. в Ставропольском крае

Год	Приплод телят, тыс. гол.	Падеж крупного рогатого скота, % к обороту стада
t	y	x
1990	315,3	1,8
1993	298,3	2,2
1994	271,4	3,4
1995	207,7	3,1
1996	195,3	3,5
1997	164,0	3,9
1998	138,4	4,1
1999	113,9	3,9
2000	92,8	2,9
2001	89,2	1,9
2002	81,4	1,8
2003	73,4	1,5
2004	67,8	1,6
2005	63,3	2,0
2006	51,7	2,0
2007	43,9	1,6
2008	41,0	1,3

Решение

Проведем сортировку данных

Х	У
1,3	41
1,5	73,4
1,6	67,8
1,6	43,9
1,8	315,3
1,8	81,4
1,9	89,2
2	63,3
2	51,7
2,2	298,3
2,9	92,8
3,1	207,7
3,4	271,4
3,5	195,3
3,9	164
3,9	113,9
4,1	138,4

Разобьем совокупность на 5 интервалов.

Интервалы для Х

1,3	1,86
1,86	2,42
2,42	2,98
2,98	3,54
3,54	4,1

Интервалы для Y

41	95,86
95,86	150,72
150,72	205,58
205,58	260,44
260,44	315,3

Проводим группировку хозяйств

В качестве значения признаков выбираем середину интервалов

Y X	68,43	123,29	178,15	233,01	287,87	Итого
1,58	5				1	6
2,14	3					3
2,7	1				1	2
3,26			1	1	1	3
3,82		2	1			3
Итого	9	2	2	1	3	17

Выборочные средние:

= (1,58(5 + 1) + 2,14*3 + 2,7(1 + 1) + 3,26(1 + 1 + 1) + 3,82(2 + 1))/17 = 2,502

= (68,43(5 + 3 + 1) + 123,29*2 + 178,15(1 + 1) + 233,01*1 + 287,87(1 + 1 + 1))/17 = 136,198

Дисперсии:

σ²_x = (1,58²(5 + 1) + 2,14²*3 + 2,7²(1 + 1) + 3,26²(1 + 1 + 1) + 3,82²(2 + 1))/17 – 2,502² = 0,74

σ²_y = (68,43²(5 + 3 + 1) + 123,29²*2 + 178,15²(1 + 1) + 233,01²*1 + 287,87²(1 + 1 + 1))/17 – 136,198² = 7268,91

Откуда получаем среднеквадратические отклонения:

σ_x = 0,86 и σ_y = 85,26

и ковариация:

Cov(x,y) = (1,58*68,43*5 + 2,14*68,43*3 + 2,7*68,43*1 + 3,82*123,29*2 + 3,26*178,15*1 + 3,82*178,15*1 + 3,26*233,01*1 + 1,58*287,87*1 + 2,7*287,87*1 + 3,26*287,87*1)/17 – 2,502 * 136,198 = 29,66

Определим коэффициент корреляции:

Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:

y_x = 40,31 x + 35,34

Рассчитываем теоретические значения и ошибки е.

Таблица 8

Год	y	yтеор	ei = y- yтеор	e2	(ei – ei-1)2
1990	315,3	111,67	203,63	41466,03	0
1993	298,3	125,46	172,84	29872,14	948,42
1994	271,4	166,85	104,55	10929,9	4663,45
1995	207,7	156,51	51,19	2620,78	2846,5
1996	195,3	170,3	25	624,85	686,26
1997	164	184,1	-20,1	403,99	2033,69
1998	138,4	191	-52,6	2766,52	1056,14
1999	113,9	184,1	-70,2	4927,97	309,82
2000	92,8	149,61	-56,81	3227,18	179,32
2001	89,2	115,12	-25,92	671,69	954,27
2002	81,4	111,67	-30,27	916,15	18,93
2003	73,4	101,32	-27,92	779,56	5,51
2004	67,8	104,77	-36,97	1366,76	81,89
2005	63,3	118,57	-55,27	3054,35	334,76
2006	51,7	118,57	-66,87	4471,08	134,56
2007	43,9	104,77	-60,87	3705,12	35,96
2008	41	94,42	-53,42	2853,94	55,46
Сумма				114657,99	14344,95

По таблице Дарбина-Уотсона для n=17 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d₁ = 1.13; d₂ = 1.38.

Поскольку 1.13 > 0.13 и 1.38 > 0.13 < 4 – 1.38, то автокорреляция остатков присутствует.

Задача 6

Синтезируйте интерполяционную функцию, принимающей в точках x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 6 заданные значения функции y₀ = –1, y₁ = –3, y₂ = 3, y₃ = 1187. Оцените погрешность интерполяции в указанных точках: x = 4, x = 12.

Решение

Составляем полином Лагранжа

Вычисляем значения в точках

Фактические значения в данных точках отсутствуют, оценить погрешность нельзя.

 

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт