Математический анализ.

Контрольная работа

№ 1

М 1 порядка есть 0 М 2 порядка есть есть 0 М 3 порядка = 0 r = 2

№ 2

№ 3

По Гауссу -2х3=-2 4х3=-3 х3=1 или х3= -3/4 система не имеет решения По Крамеру D=0

а D123 0 система не имеет решения

№ 4

х1+ х2 -2х3+2х4=0 х3=1 х1+х2-2=0 х2= -6 х1= -4 х3=0 х1+х2+2=0 х2=5 х1= -7

0х1+х2+6х3 -5х4=0 х4=0 х2+6=0 х1+6=2 х4=1 х2-5=0 х1+5= -2

e1=(-4; -6;1;0) e2=(-7;5;0;1) фундамент. система решений

№ 5

1 столбца =0,1+0,5+0,3=0,91 2 столбца =0,9+0,5+1,1=2,51 3 столбца =0,4+0,5+0,3=1,11

Матрица непродуктивна еще проверка (Е-А) в-1 степени отрицательна непродуктивна матрица

№ 6

 

№ 7

№ 8

по Гауссу система не имеет решений, значит векторы линейно зависимы и не образуют базис D=0

№ 9

№ 10

№ 11

D=0 вспом. D≠0 система не имеет решений линейно зависимы векторы

№ 12

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы А). Привести матрицу А к диагональному виду (если возможно)

Решение: Характеристическое уравнение

(1 – )((2 – )(2 – ) – 1) = 0

(1 – )(4 – 4 + ² – 1) = 0

(1 – )(² – 4 + 3) = 0

₁ = ₂ = 1; ₃ = 3

При = 1:

х₁ – х₂ = 0

Пусть х₂ = С₁, х₃ = С₂ . Тогда х₁ = С₁

= (С₁; С₁; 0); = (0; 0; С₂)

При = 3:

Пусть х₃ = С. Тогда х₂ = -С, х₁ = С

= (С; -С; С)

Диагональный вид матрицы А:

№ 13

Если х3=3 –х1+0,25х2= -1 х1=1+0,25х2 0,5+0,125х2-0,5х2=-1 0,375х2=0,5

0,5х1-0,5х2= -1 х2=4/3 х1=1+1/3=4/3

Х=(4/3; 4/3; 3)

№ 14

При каких значениях и векторы

и

а) коллинеарны?

b) ортогональны?

Решение: а) Векторы коллинеарны, если

β – α = 9

β = 9 + α

а) Векторы коллинеарны, если

b) Векторы ортогональны, если = 0

№ 15

Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица А. Если приводится, то записать диагональный вид матрицы.

Решение: Характеристическое уравнение

(2 – )(3 – )(-6 – ) = 0

₁ = 2; ₂ = 3; ₃ = -6

При = 2:

Пусть х₁ = С. Тогда х₃ = 0, х₂ = 0

= (0; 0; С)

При = 3:

Пусть х₂ = С. Тогда х₃ = 0, х₁ = 5С

= (5С; С; 0)

При = -6:

Пусть х₃ = 36С. Тогда х₂ = -4С, х₁ = 11С

= (11С; -4С; 36С)

При = 3:

Пусть х₂ = С. Тогда х₃ = 0, х₁ = 5

Матрицу А можно привести к диагональному виду

Диагональный вид матрицы А:

Матрицу А можно привести к диагональному виду

Диагональный вид матрицы А:

 

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт