Сформировать таблицу решений и построить модель выбора наиболее предпочтительной альтернативы, используя следующие решающие правила

Сформировать таблицу решений и построить модель выбора наиболее предпочтительной альтернативы, используя следующие решающие правила:

а) критерий Вальда;

б) критерий Гурвица (для двух значений γ > 0,5 и γ < 0,5);

в) принцип недостаточного обоснования;

г) комбинацию критерия Гурвица и принципа недостаточного обоснования;

д) критерий Сэвиджа.

Для уборки овощей необходимо привлечь сезонных рабочих. Урожайность колеблется в пределах от 200 до 250 центнеров, закупочная цена стабильна и равна 5 денежных единиц (д.е.) за 1 кг. Рабочий за сезон собирает 10 центнеров и получает 2 д.е./кг за уборку и 600 д.е. в качестве компенсации расходов на проезд к месту работы. Затраты на обеспечение рабочих жильем составляют 5000 д.е. и не зависят от численности. Определить оптимальное число привлекаемых рабочих с точки зрения максимизации прибыли.

Решение

В рассматриваемой задаче принятия решений роль альтернатив играет число нанятых рабочих, а роль состояний внешней среды – урожайность.

За каждый убранный кг рабочий получает 2 д.е., а предприятие продает его за 5 д.е. Разница – 3 д.е./кг.

В целом имеет смысл привлекать от 20 (они будут гарантированно задействованы даже при минимальной урожайности) до 25 (большее число рабочих точно не будет обеспечено работой) рабочих.

Для удобства вычислений рассмотрим изменение урожайности с шагом 10 ц (при необходимости можно выбрать меньший шаг – например, 1ц, 0.5ц и т.д.).

Итак, множество альтернатив Х={20,21,22,23,24,25}, множество исходов Z={200,210,220,230,240,250}

Исходы оцениваются по критерию прибыли. На основе данных условия задачи, имеется следующая зависимость:

Или, приведя подобные слагаемые, получаем:

С учетом данной зависимости получаем таблицу решений (величины прибыли указаны в д.е.).

xi	zj
	200	210	220	230	240	250
20	43000	43000	43000	43000	43000	43000
21	42400	45400	45400	45400	45400	45400
22	41800	44800	47800	47800	47800	47800
23	41200	44200	47200	50200	50200	50200
24	40600	43600	46600	49600	52600	52600
25	40000	43000	46000	49000	52000	55000

а) Для каждой альтернативы хi вычислим значения критерия Вальда по формуле:

Вычисленные значения приведены в табл.

xi	zj						WD(xi)	WH(xi) (=0,4)	WH(xi) (=0,6)	WL(xi)
	200	210	220	230	240	250
20	43000	43000	43000	43000	43000	43000	43000	43000	43000	43000
21	42400	45400	45400	45400	45400	45400	42400	44200	43600	44900
22	41800	44800	47800	47800	47800	47800	41800	45400	44200	46300
23	41200	44200	47200	50200	50200	50200	41200	46600	44800	47200
24	40600	43600	46600	49600	52600	52600	40600	47800	45400	47600
25	40000	43000	46000	49000	52000	55000	40000	49000	46000	47500

Наиболее предпочтительной по данному критерию является альтернатива x1 (20 рабочих), обеспечивающая лучшую оценку при неблагоприятном исходе.

б) Для вычисления значений критерия Гурвица используется формула:

Для применения этой формулы необходимо предварительно выбрать значение показателя γ (коэффициента оптимизма-пессимизма). В соответствии с таблицей решений, имеем:

(т.е. при реализации первой альтернативы возможно получение прибыли в сумме 40 тыс. д.е. либо 55 тыс. д.е., а реализация второй альтернативы приводит к получению определенной прибыли y_γ наверняка). Пусть ЛПР считает, что альтернативы равноценны при y_γ = 49 тыс. д.е. Отсюда:

Полученное значение γ = 0,4 соответствует преобладанию у ЛПР оптимистического взгляда на поведение внешней среды, когда при оценке альтернатив больший приоритет отдается благоприятному исходу. Вычисленные значения критерия Гурвица для γ = 0,4 приведены в табл. Наилучшей по данному критерию является альтернатива x₆ (25 рабочих).

Теперь рассмотрим ситуацию, когда коэффициент соответствует преобладанию пессимистического взгляда на поведение внешней среды – пусть, например, ЛПР установило y_γ=46 тыс. д.е., что соответствует γ = 0,6. Вычисленные значения критерия Гурвица для γ = 0,6 приведены в табл. Наилучшей по данному критерию является альтернатива x₆ (25 рабочих).

в) Критерий Бернулли-Лапласа, используемый в рамках принципа недостаточного обоснования имеет вид:

Наиболее предпочтительная альтернатива – х₅ (24 рабочих).

г) Для применения комбинации критерия Гурвица и принципа недостаточного обоснования необходимо разделить множество исходов на два подмножества, содержащие исходы, благоприятные и неблагоприятные с точки зрения ЛПР. Как правило, такое разделение выполняется на основе значения y_γ, которое ЛПР выбирает при определении коэффициента γ. Таким образом, с учетом б), получаем: для γ = 0,4:

где r_k(x_i), q_j(x_i) – исходы альтернативы x_i, принадлежащие соответственно множествам R и Q;

p(x_i), s(x_i) – число таких исходов. При этом, если для альтернативы x_i одно из значений p(x_i), s(x_i) нулевое (все ее исходы относятся только к одному из подмножеств), то для оценки данной альтернативы используется критерий Бернулли-Лапласа (оценивается «средний» исход).

xi	zj						WС(xi) (=0,4)
	200	210	220	230	240	250
20	43000	43000	43000	43000	43000	43000	43000
21	42400	45400	45400	45400	45400	45400	44900
22	41800	44800	47800	47800	47800	47800	46300
23	41200	44200	47200	50200	50200	50200	47800
24	40600	43600	46600	49600	52600	52600	48400
25	40000	43000	46000	49000	52000	55000	48400

Предпочтительными в равной степени являются альтернативы х₅ и х₆ (24 и 25 рабочих).

xi	zj						WС(xi) (=0,6)
	200	210	220	230	240	250
20	43000	43000	43000	43000	43000	43000	43000
21	42400	45400	45400	45400	45400	45400	44900
22	41800	44800	47800	47800	47800	47800	45100
23	41200	44200	47200	50200	50200	50200	45400
24	40600	43600	46600	49600	52600	52600	45400
25	40000	43000	46000	49000	52000	55000	45100

Предпочтительными в равной степени являются альтернативы х₄ и х₅ (23 и 24 рабочих).

д) Значения критерия Сэвиджа вычисляются по формуле:

где

Наилучшей является альтернатива x₅ (24 рабочих), обеспечивающая наименьший «недовыигрыш» в самой неблагоприятной ситуации.

 

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт