Задача 1.
Решить графическим способом решения ЗЛП.
при ограничениях
Решение.
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение 2x1+4x2 = 16 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 8. Соединяем точку (0;4) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:2 ∙ 0 + 4 ∙ 0 – 16 ≤ 0, т.е. 2x1+4x2 – 16≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение -4x1+2x2 = 8 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -2. Соединяем точку (0;4) с (-2;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:-4 ∙ 0 + 2 ∙ 0 – 8 ≤ 0, т.е. -4x1+2x2 – 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение x1+3x2 = 9 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 3. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 9. Соединяем точку (0;3) с (9;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 ∙ 0 + 3 ∙ 0 – 9 ≤ 0, т.е. x1+3x2 – 9≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение 6x1+5x2=30 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 6. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 5. Соединяем точку (0;6) с (5;0) прямой линией.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = -2x1-x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = -2x1-x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (-2;-1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (3) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1+3x2=9
6x1+5x2=30
Решив систему уравнений, получим: x1 = 3,4615, x2 = 1,8462
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = -2∙3,4615 – 1∙1.,8462 = -8,7692
Найдем максимум функции.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x1+4x2=16
6x1+5x2=30
Решив систему уравнений, получим: x1 = 2,8571, x2 = 2,5714
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = -2∙ 2,8571 – 1∙ 2,5714 = -8,2857
Ответ: Fmin(X) = -8,7692, при x1 = 3,4615, x2 = 1,8462
Fmax(X) = -8,2857 при x1 = 2,8571, x2 = 2,5714
Задача 2.
Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. руб., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. руб. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Составить экономико-математическую модель, а затем решить задачу графическим способом
Решение.
Введем обозначения:
х1 — тысяч ден. ед. может вложить инвестор в акции автомобильного концерна А.
х2 — тысяч ден. ед. может вложить инвестор в акции строительного предприятия В.
при ограничениях
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 0.08x1+0.1x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0.08x1+0.1x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (0.08;0.1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1+x2=300
x1-2x2=0
Решив систему уравнений, получим: x1 = 200, x2 = 100
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 0,08∙200 + 0,1∙100 = 26
Ответ: Fmax(X) = 0,08∙200 + 0,1∙100 = 26, при x1 = 200, x2 = 100
Задача 3.
Составить взаимодвойственную задачу.
при ограничениях
Решение.
при ограничениях
Задача 4. В нижеприведенной таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (у.д.е.)
Производящие отрасли | Потребляющие отрасли | Конечный продукт | Валовой выпуск | ||
1 | 2 | 3 | |||
1 | 10 | 5 | 15 | 70 | 100 |
2 | 15 | 15 | 10 | 60 | 100 |
3 | 5 | 10 | 20 | 65 | 100 |
Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли увеличится вдвое, второй отрасли – на 20%, а третьей сохранится на прежнем уровне.
Решение.
Имеем
x1=100, x2=100, x3=100, x11=10, x12=5, x13=15, x21=15, x22=15, x23=10, x31=5, x32=10, x33=20, y1=70, y2=60, y3=65.
Находим коэффициенты прямых затрат:
a11=0,1; a12=0,05; a13=0,15; a21=0,15; a22=0,15; a23=0,1; a31=0,05; a32=0,1; a33=0,2
Т.е. матрица прямых затрат
имеет отрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:
max{0,1+0,15+0,05;0,05+0,15+0,1;0,15+0,1+0,2}=max{0,3;0,2;0,45}=0,45<1
Поэтому для любого вектора конечного продукта Yможно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X=(E−A)−1Y.
Напишем матрицу полных затрат
S=(E−A)−1:
Найдем матрицу S
Транспонированная матрица.
Найдем алгебраические дополнения матрицы
∆1,1=(0,85∙0,8-(-0,1∙ (-0,1)))=0,67
∆1,2=-(-0,05∙0,8-(-0,15∙ (-0,1)))=0,055
∆1,3=(-0,05∙ (-0,1)-(-0,15∙0,85))=0,1325
∆2,1=-(-0,15∙0,8-(-0,1∙ (-0,05)))=0,125
∆2,2=(0,9∙0,8-(-0,15∙ (-0,05)))=0,7125
∆2,3=-(0,9∙ (-0,1)-(-0,15∙ (-0,15)))=0,1125
∆3,1=(-0,15∙ (-0,1)-0,85∙ (-0,05))=0,0575
∆3,2=-(0,9∙ (-0,1)-(-0,05∙ (-0,05)))=0,0925
∆3,3=(0,9∙0,85-(-0,05∙ (-0,15)))=0,7575
По условию вектора конечного продукта:
Тогда по формуле X=(E−A)−1Y получаем вектор валового выпуска:
т.е. валовой выпуск в первой отрасли надо увеличить до 1809 усл. ед., во второй отрасли – до 1295 усл. ед., в третьей – 1088 усл. ед.
Доступа нет, контент закрыт
Доступ закрыт
Полный текст и возможность скачивания доступны только для пользователей с Премиум подпиской.
Если вы уже имеете Премиум подписку, то авторизируйтесь для доступа к полному тексту и возможности его скачать.
ВЫБЕРИТЕ ВАШ ТАРИФ
-
- PREMIUM_30
-
599
-
- PREMIUM_60
-
999
-
- PREMIUM_90
-
1599
Доступ закрыт
Полный текст и возможность скачивания доступны только для пользователей с Премиум подпиской.
Если вы уже имеете Премиум подписку, то авторизируйтесь для доступа к полному тексту и возможности его скачать.
ВЫБЕРИТЕ ВАШ ТАРИФ
-
- PREMIUM_30
-
599
-
- PREMIUM_60
-
999
-
- PREMIUM_90
-
1599
Доступ закрыт
Полный текст и возможность скачивания доступны только для пользователей с Премиум подпиской.
Если вы уже имеете Премиум подписку, то авторизируйтесь для доступа к полному тексту и возможности его скачать.
ВЫБЕРИТЕ ВАШ ТАРИФ
-
- PREMIUM_30
-
599
-
- PREMIUM_60
-
999
-
- PREMIUM_90
-
1599