Задачи по анализу

Задача 1.

Решить графическим способом решения ЗЛП.

при ограничениях

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 2x₁+4x₂ = 16 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 8. Соединяем точку (0;4) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:2 ∙ 0 + 4 ∙ 0 – 16 ≤ 0, т.е. 2x₁+4x₂ – 16≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение -4x₁+2x₂ = 8 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = -2. Соединяем точку (0;4) с (-2;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:-4 ∙ 0 + 2 ∙ 0 – 8 ≤ 0, т.е. -4x₁+2x₂ – 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение x₁+3x₂ = 9 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 3. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 9. Соединяем точку (0;3) с (9;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 ∙ 0 + 3 ∙ 0 – 9 ≤ 0, т.е. x₁+3x₂ – 9≥ 0 в полуплоскости выше прямой.

Построим уравнение 6x₁+5x₂=30 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 6. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 5. Соединяем точку (0;6) с (5;0) прямой линией.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = -2x₁-x₂ → min.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = -2x₁-x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (-2;-1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (3) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x₁+3x₂=9

6x₁+5x₂=30

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 3,4615, x₂ = 1,8462

Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

F(X) = -2∙3,4615 – 1∙1.,8462 = -8,7692

Найдем максимум функции.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

2x₁+4x₂=16

6x₁+5x₂=30

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 2,8571, x₂ = 2,5714

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = -2∙ 2,8571 – 1∙ 2,5714 = -8,2857

Ответ: F_min(X) = -8,7692, при x₁ = 3,4615, x₂ = 1,8462

F_max(X) = -8,2857 при x₁ = 2,8571, x₂ = 2,5714

Задача 2.

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. руб., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. руб. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Составить экономико-математическую модель, а затем решить задачу графическим способом

Решение.

Введем обозначения:

х₁ — тысяч ден. ед. может вложить инвестор в акции автомобильного концерна А.

х₂ — тысяч ден. ед. может вложить инвестор в акции строительного предприятия В.

при ограничениях

Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 0.08x₁+0.1x₂ → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0.08x₁+0.1x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (0.08;0.1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x₁+x₂=300

x₁-2x₂=0

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 200, x₂ = 100

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 0,08∙200 + 0,1∙100 = 26

Ответ: F_max(X) = 0,08∙200 + 0,1∙100 = 26, при x₁ = 200, x₂ = 100

Задача 3.

Составить взаимодвойственную задачу.

при ограничениях

Решение.

при ограничениях

Задача 4. В нижеприведенной таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (у.д.е.)

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечный продукт	Валовой выпуск
	1	2	3
1	10	5	15	70	100
2	15	15	10	60	100
3	5	10	20	65	100

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли увеличится вдвое, второй отрасли – на 20%, а третьей сохранится на прежнем уровне.

Решение.

Имеем

x1=100, x2=100, x3=100, x11=10, x12=5, x13=15, x21=15, x22=15, x23=10, x31=5, x32=10, x33=20, y1=70, y2=60, y3=65.

Находим коэффициенты прямых затрат:

a11=0,1; a12=0,05; a13=0,15; a21=0,15; a22=0,15; a23=0,1; a31=0,05; a32=0,1; a33=0,2

Т.е. матрица прямых затрат

имеет отрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

max{0,1+0,15+0,05;0,05+0,15+0,1;0,15+0,1+0,2}=max{0,3;0,2;0,45}=0,45<1

Поэтому для любого вектора конечного продукта Yможно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X=(E−A⁾⁻¹Y.

Напишем матрицу полных затрат

S=(E−A)⁻¹:

Найдем матрицу S

Транспонированная матрица.

Найдем алгебраические дополнения матрицы

∆_1,1=(0,85∙0,8-(-0,1∙ (-0,1)))=0,67

∆_1,2=-(-0,05∙0,8-(-0,15∙ (-0,1)))=0,055

∆_1,3=(-0,05∙ (-0,1)-(-0,15∙0,85))=0,1325

∆_2,1=-(-0,15∙0,8-(-0,1∙ (-0,05)))=0,125

∆_2,2=(0,9∙0,8-(-0,15∙ (-0,05)))=0,7125

∆_2,3=-(0,9∙ (-0,1)-(-0,15∙ (-0,15)))=0,1125

∆_3,1=(-0,15∙ (-0,1)-0,85∙ (-0,05))=0,0575

∆_3,2=-(0,9∙ (-0,1)-(-0,05∙ (-0,05)))=0,0925

∆_3,3=(0,9∙0,85-(-0,05∙ (-0,15)))=0,7575

По условию вектора конечного продукта:

Тогда по формуле X=(E−A)⁻¹Y получаем вектор валового выпуска:

т.е. валовой выпуск в первой отрасли надо увеличить до 1809 усл. ед., во второй отрасли – до 1295 усл. ед., в третьей – 1088 усл. ед.

 

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт