Задачи по оптимальным решениям

Задание 1. В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. ден.ед.

Отрасль		Потребление		Конечный продукт
		Промышленность	Сельское хозяйство
Производство	Промышленность	0,4	0,25	300
	Сельское хозяйство	0,5	0,4	200

Найти:

1) плановые объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей;

2) необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на 30%, а промышленности на 40%.

Решение. Заполним таблицу

Найдем плановые объемы валовой продукции отраслей зная, что задана матрица прямых затрат и вектор конечного продукта .

Используем основную формулу межотраслевого баланса

Таким образом, плановый объем валовой продукции отраслей равен х₁ = 978,723 (промышленность), x₂ = 1148,936 (сельское хозяйство).

Найдем межотраслевые поставки. Коэффициент прямых затрат определяется как объём ресурса i, необходимый для производства единицы продукта j, .

Отсюда можно найти

Получаем:

х₁₁ = a₁₁ x₁ = 0,4 978,723 = 391,489.

x₂₁ = a₂₁ х₁ = 0,5 978,723 = 489,362.

x₁₂ = a₁₂ x₂ = 0,25 1148,936 = 287,234.

x₂₂ = a₂₂ x₂ = 0,4 1148,936 = 459,574.

Получаем таблицу:

Отрасль		Потребление		Конечный продукт
		Промышленность	Сельское хозяйство
Производство	Промышленность	391,489 ,489489,362	287,234	300
	Сельское хозяйство	489,362	459,574	200

Найдем условно чистую продукцию отраслей из формулы

x_j = x_1j + x_2j + z_j, откуда z_j = x_j -( x_1j + x_2j), j = 1,2.

Получим: z = x₁-(x₁₁ + x₂₁ ) = 97,872,

z₂ = x -(x₁₂ + x₂₂ ) = 402,128

Найдем необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на 30%, а промышленности на 40%, то есть новый вектор конечной продукции примет вид:

Тогда валовой выпуск будет равен:

Новый валовой выпуск для промышленности: 1293,617, для сельского хозяйства: 1544,681.

Задание 2. Для двух предприятий выделено 1000 единиц средств. Как распределить все средства в течении 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если известно что доход от х единиц средств, вложенных в первое предприятие , равен , а доход от y единиц средств, вложенных во второе предприятие равен . Остаток средств к концу года составляет для первого предприятия и для второго предприятия. Задачу решить методом динамического программирования.

Решение.

Процесс распределения средств разобьем на 4 этапа – по соответствующим годам. Обозначим а_k =х_k +y_k — средства, которые распределяются на k –ом шаге как сумма средств по предприятиям.

Суммарный доход от обоих предприятий на k –ом шаге:

Остаток средств от обоих предприятий на k –ом шаге:

Обозначим — максимальный доход, полученный от распределения средств a_k между двумя предприятиями с k -го шага до конца рассматриваемого периода.

Соотношения Беллмана для этих функций

Проведем оптимизацию, начиная с четвертого шага:

4-й шаг.

Оптимальный доход равен:

т.к. линейная возрастающая функция достигает максимума в конце рассматриваемого промежутка, т.е. при x₄ = a₄.

3-й шаг.

,

т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при x₃ = 0.

2-й шаг.

т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при x₂ = 0.

1-й шаг.

,

т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при x₁ = 0.

Тогда

Определим количественное распределение средств по годам:

Предприятие	год
	1	2	3	4
1	0	0	0	125
2	1000	500	250	0

Доход равен:

Задание 3. Фермер может выращивать либо кукурузу, либо соевые бобы. Вероятность того, что цены на будущий урожай этих культур повысятся, останутся на том же уровне или понизятся, равна соответственно 0,25, 0,30 и 0,45. Если цены возрастут, урожай кукурузы даст 30 000 долл. чистого дохода, а урожай соевых бобов — 10 000 долл. Если цены останутся неизменными, фермер лишь покроет расходы. Но если цены станут ниже, урожай кукурузы и соевых бобов приведет к потерям в 35 000 и 5 000 долл. соответственно. Постройте дерево решений. Какую культуру следует выращивать фермеру? Каково ожидаемое значение его прибыли?

Решение.

Дерево решений.

Определим доход или убыток получит фермер, если будет выращивать кукурузу:

D=0,25∙30000+0,3∙0+0,45∙(-35000)=-8250

Определим доход или убыток получит фермер, если будет выращивать бобы:

D=0,25∙10000+1,2∙0+0,45∙(-5000)=250

Таким образом, фермеру для получения дохода необходимо выращивать бобы, прибыль составит 250 долл.

Задание 4. Планируется распределение начальной суммы х0 млн. р. между четырьмя предприятиями некоторого объединения. Средства выделяются только в размерах кратных а=80 млн. р. Функции прироста продукции от вложенных средств на каждом предприятии заданы таблично. Требуется так распределить вложения между предприятиями, чтобы общий прирост продукции (в млн. р.) был максимальным. Решить задачу на основе функционального уравнения Беллмана.

Таблица 1

Х0	Вкладываемые средства Х	Функции прироста продукции на предприятии
		f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)
400	0	10	15	13	14
	80	13	20	17	16
	160	16	22	21	23
	240	21	25	26	25
	320	25	30	28	27
	400	25	32	30	32

Функциональное уравнение Беллмана имеет вид:

Первый шаг. Вычислим значения F₂(x₀) по формуле т.е. решим задачу для двух предприятий. Занесем все результаты в таблицу, где через x₂ и x₁ = x₀ — x₂ обозначены количества средств, вложенных соответственно во второе и первое предприятия.

Таблица 2

X2	f2	Xi	0	80	160	240	320	400	F2	План
		Fi	10	13	16	21	25	25
0	15		25	28	31	36	40	40	25	(0,0)
80	20		30	33	36	41	45		30	(0,80)
160	22		32	35	38	43			33	(80,80)
240	25		35	38	41				36	(160,80) (240,0)
320	30		40	43					41	(240,80)
400	32		42						45	(320,80)

Распределим вложения между тремя предприятиями. Будем использовать формулу при этом значения F₂ будем брать из таблицы 2, а значения f₃ — из таблицы 1. Результаты занесем в таблицу 3, где x₀ — x₃ = x₁ + x₂.

Затем аналогично вычислим F₄(x₀) (Таблица 4).

Таблица 3.

Хз	f3	Х1+Х2	0	80	160	240	320	400	F3	План
		F2	25	30	33	36	41	45
0	13		38	43	46	49	54	58	38	(0,0,0)
80	17		42	47	50	53	58		43	(0,80,0)
160	21		46	51	54	57			47	(0,80,80)
240	26		51	56	59				51	(0,0,240) (0,80,160)
320	28		53	58					56	(0,80,240)
400	30		55						59	(80,80,240)

Таблица 4.

Х4	f4	Х0-Х4	0	80	160	240	320	400	F4	План
		F3	38	43	47	51	56	59
0	14		52	57	61	65	70	73	52	(0,0,0,0)
80	16		54	59	63	67	72		57	(0,80,0,0)
160	23		61	66	70	74			61	(0,80,80,0) (0,0,0,160)
240	25		63	68	72				66	(0,80,0,160)
320	27		65	70					70	(0,80,240,0) (0,80,80,160)
400	32		70						74	(0,0,240,160) (0,80,160,160)

Таким образом, оптимальная программа распределения средств между четырьмя предприятиями представлена в последнем столбце таблицы 4. Наибольший прирост при вложении 400 тыс. рублей составит 74 тыс.р., при этом возможно два варианта инвестирования:

1. Вложить в третье предприятие 240 и в четвертое — 160 тыс.р.
2. Вложить во второе предприятие 80, в третье и четвертое — по 160 тыс. р.

 

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт

Доступа нет, контент закрыт